差分約束講解

——by ysy

因為差分約束是基於$spfa$的一種解不等式，或等式組的技巧，所以差分約束的前置知識就是$spfa$和對不等式的簡單小變換。

因為差分約束只是乙個技巧，所以在這裡我先講解技巧，之後再講解例題。

建圖技巧

我們將不等式組分為兩種：$a \le b+val$以及$a\ge b+val$。

現在討論第一種$a\le b+val$，我們在建圖時$b \rightarrow a$建邊，邊權為$val$，所有的不等式都像這樣建邊的話，我們可以在建出的圖上跑最短路。

現在為第二種$a\ge b+val$，我們在建圖時$b \rightarrow a$建邊，邊權為$val$，所有的不等式都像這樣建邊的話，我們可以在建出的圖上跑最長路。

如果我所有的式子給出的時候不是都為第一種或者第二種呢？如果不將式子的形式統一的話，就沒法在建出來的圖上單純的跑最短路或者最長路。所以我們就需要將所有的式子的形式進行統一。

討論完不等式了，就剩下等式。$a=b$我們就以這個為例。等式可以化成不等式組$a\le b\&\& a \ge b$。我們將這個不等式組轉化成為圖就是$b \rightarrow a $，邊權為$0$，同時加另一條邊$a \rightarrow b$，邊權為$0$。這樣乙個等式就化為不等式的形式了。

我在上面寫的都是大於等於或者小於等於的情況，如果是大於或者小於的情況怎麼辦？我在這裡以大於為例：$a\gt b \rightarrow a \ge b +1$。我們只需要將式子化成為帶等於的形式就可以了。

1）題目鏈結

我們看這道題目，會發現題目之中有三個限制$x_a \ge x_b+c$，$x_a \le x_b+c$，$x_a=x_b$。我們們根據這三個性質能建出來乙個圖。第乙個條件就是$a \rightarrow b $，邊權為$-c$。第二個條件就是$b \rightarrow a$，邊權為$c$。第三個條件就是$a\rightarrow b $和$b\rightarrow a$邊權都為$0$。

因為我們要判斷能否成立，所以我們只需要在我們建出的圖上跑最短路，並且判斷是否有負環，如果有則輸出$no$，否則輸出$yes$。因為要判斷負環，所以我們很容易想到$spfa$。

#include #include using namespace std;
#define n 10010
#define m 10010
#define inf1 1000000000
#define inf2 900000000
int n,m;
int head[n],nxt[m<<2],to[m<<2],val[m<<2];
int dis[n],idx;bool vis[n],is;
void add(int a,int b,int c)
void spfa(int p)
spfa(to[i]);
}vis[p]=false;
}int main()
for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=inf1;
for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=0,spfa(i);
if(is) printf("no\n");
else printf("yes");
}

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