差分約束系統

x1 - x2 <= 0

x1 - x5 <= -1

x2 - x5 <= 1

x3 - x1 <= 5

x4 - x1 <= 4

x4 - x3 <= -1

x5 - x3 <= -3

x5 - x4 <= -3

不等式組(1)

全都是兩個未知數的差小於等於某個常數（大於等於也可以，因為左右乘以-1就可以化成小於等於）。這樣的不等式組就稱作差分約束系統。

這個不等式組要麼無解，要麼就有無陣列解。因為如果有一組解的話，那麼對於任何乙個常數k，肯定也是一組解，因為任何兩個數同時加乙個數之後，它們的差是不變的，那麼這個差分約束系統中的所有不等式都不會被破壞。

差分約束系統的解法利用到了單源最短路徑問題中的三角形不等式。即對於任何一條邊u -> v，都有：

d(v) <= d(u) + w(u, v)

其中d(u)和d(v)是從源點分別到點u和點v的最短路徑的權值，w(u, v)是邊u -> v的權值。

顯然以上不等式就是d(v) - d(u) <= w(u, v)。這個形式正好和差分約束系統中的不等式形式相同。於是我們就可以把乙個差分約束系統轉化成一張圖，每個未知數xi對應圖中的乙個頂點vi，把所有不等式都化成圖中的一條邊。對於不等式xi - xj <= c，把它化成三角形不等式：xi <= xj + c，就可以化成邊vj -> vi，權值為c。最後，我們在這張圖上求一次單源最短路徑，這些三角形不等式就會全部都滿足了，因為它是最短路徑問題的基本性質嘛。

話說回來，所謂單源最短路徑，當然要有乙個源點，然後再求這個源點到其他所有點的最短路徑。那麼源點在哪呢？我們不妨自已造乙個。以上面的不等式組為例，我們就再新加乙個未知數x0。然後對原來的每個未知數都對x0隨便加乙個不等式（這個不等式當然也要和其它不等式形式相同，即兩個未知數的差小於等於某個常數）。我們索性就全都寫成xn - x0 <= 0，於是這個差分約束系統中就多出了下列不等式：

x1 - x0 <= 0

x2 - x0 <= 0

x3 - x0 <= 0

x4 - x0 <= 0

x5 - x0 <= 0

不等式組(2)

對於這5個不等式，也在圖中建出相應的邊。最後形成的圖如下：

圖1

圖中的每一條邊都代表差分約束系統中的乙個不等式。現在以v0為源點，求單源最短路徑。最終得到的v0到vn的最短路徑長度就是xn的乙個解啦。從圖1中可以看到，這組解是。當然把每個數都加上10也是一組解：。但是這組解只滿足不等式組(1)，也就是原先的差分約束系統；而不滿足不等式組(2)，也就是我們後來加上去的那些不等式。當然這是無關緊要的，因為x0本來就是個局外人，是我們後來加上去的，滿不滿足與x0有關的不等式我們並不在乎。

也有可能出現無解的情況，也就是從源點到某乙個頂點不存在最短路徑。也說是圖中存在負權的圈。這一點我就不展開了，請自已參看最短路徑問題的一些基本定理。

其實，對於圖1來說，它代表的一組解其實是，也就是說x0的值也在這組解當中。但是x0的值是無可爭議的，既然是以它作為源點求的最短路徑，那麼源點到它的最短路徑長度當然是0了。因此，實際上我們解的這個差分約束系統無形中又存在乙個條件：

x0 = 0

也就是說在不等式組(1)、(2)組成的差分約束系統的前提下，再把其中的乙個未知數的值定死。這樣的情況在實際問題中是很常見的。比如乙個問題表面上給出了一些不等式，但還隱藏著一些不等式，比如所有未知數都大於等於0或者都不能超過某個上限之類的。比如上面的不等式組(2)就規定了所有未知數都小於等於0。

對於這種有乙個未知數定死的差分約束系統，還有乙個有趣的性質，那就是通過最短路徑演算法求出來的一組解當中，所有未知數都達到最大值。下面我來粗略地證明一下，這個證明過程要結合bellman-ford演算法的過程來說明。

假設x0是定死的；x1到xn在滿足所有約束的情況下可以取到的最大值分別為m1、m2、……、mn（當然我們不知道它們的值是多少）；解出的源點到每個點的最短路徑長度為d1、d2、……、dn。

基本的bellman-ford演算法是一開始初始化d1到dn都是無窮大。然後檢查所有的邊對應的三角形不等式，一但發現有不滿足三角形不等式的情況，則更新對應的d值。最後求出來的d1到dn就是源點到每個點的最短路徑長度。

如果我們一開始初始化d1、d2、……、dn的值分別為m1、m2、……、mn，則由於它們全都滿足三角形不等式（我們剛才已經假設m1到mn是一組合法的解），則bellman-ford演算法不會再更新任合d值，則最後得出的解就是m1、m2、……、mn。

好了，現在知道了，初始值無窮大時，算出來的是d1、d2、……、dn；初始值比較小的時候算出來的則是m1、m2、……、mn。大家用的是同樣的演算法，同樣的計算過程，總不可能初始值大的算出來的結果反而小吧。所以d1、d2、……、dn就是m1、m2、……、mn。

那麼如果在乙個未知數定死的情況下，要求其它所有未知數的最小值怎麼辦？只要反過來求最長路徑就可以了。最長路徑中的三角不等式與最短路徑中相反：

d(v) >= d(u) + w(u, v)

也就是d(v) - d(u) >= w(u, v)

所以建圖的時候要先把所有不等式化成大於等於號的。其它各種過程，包括證明為什麼解出的是最小值的證法，都完全類似。

最近幾天系統得學習了一些差分約束系統的原理，特此記錄如下：

所謂差分約束系統，是指一組不定方程(a,x,t,b)，其中a的每行有乙個1，乙個-1，其餘為0，x為解向量，t為<=或》=組成的向量，b為約束向量。具體來說，就是每行都具有 xi-xj >=|<= bi 的形式。約束的目標是使得目標函式xt-xs最大或最小。

這是典型的線性規劃的個案，但是也可以轉化為圖論來做，利用最短路（或最長路）方法可以實現高效的解決方案。

下面通過poj上的部分例題來詳細解釋如下：

poj3159 candies

這是我接觸差分約束的第一題。設s[a]為kid a獲得的candies數，則每一行代表的約束是s[b]-s[a]<=c，目標函式是使得s=s[n]-s[1]最大。

利用差分約束的思想建圖，對於每一條約束，從a向b做一條長為c的邊，則從1到n的最短路即為所求。由於本題c皆為非負數，所以可以用dijkstra高效解決。

核心**（構圖）：

void input()

}poj1364 king

注意到本題的約束是》和

xb -》 x>=b+1

然而需要注意的是，差分約束必須保證所有的不等式具有同樣的不等號才能正確執行！所以我們把所有符號轉為<=，然後構圖，做bellman_ford。

核心**（構圖）：

bool input()

else }

return 1;

}poj1716 integer intervals

poj1201 intervals

後者是前者的進化版，所以我們以後者為例。

令s[i]為從0到i-1中數的個數，則以下為約束條件：

s[bi]-s[ai]>=ci

1>=s[i+1]-s[i]>=0

注意本題要求的是最小值，而按照》=號建圖後發現圖中有負環，怎麼辦呢？

其實很簡單，本題求的不是最短路，而是最長路！而bellman_ford依然可以承擔此項重任！

核心**（構圖）：

void input()

for (i=st;i

px[m]=i;

py[m]=i+1;

pl[m]=0;

++m;

}for (i=ed;i>st;--i)

for (i=st;i<=ed;++i)

dps[i]=maxs;

dps[ed]=0;

}poj3169 layout

本題是求約束下的最大值，只要依<=建圖並求最短路即可！

核心**（構圖）：

void input()

for (i=0;i

scanf("%d %d %d",&xx,&yy,&ll);

--xx;

--yy;

px[m]=yy;

py[m]=xx;

pl[m]=-ll;

++m;

}for (i=1;i

px[m]=i;

py[m]=i-1;

pl[m]=0;

++m;}}

poj1275 cashier employment

這是我很久以前就從黑書上見到的題目，但是因為當時自己才疏學淺，怎麼都寫不出來。現在搞懂了差分約束，發現其實不是那麼難的！

利用差分約束尋找可行解，在所有可行解中二分最優。

核心**（構圖）：

void createmap(int sum)

for (i=1;i<25;++i)

px[m]=0;

py[m]=24;

pl[m]=sum;

++m;

for (j=1;j<25;++j)

}總論：

感謝各位大牛小牛們能耐心看到這裡，在此我準備用一些簡單的語句來總結差分約束系統的應用特性：

>=，求最小值，做最長路；

<=，求最大值，做最短路。

邊都是從後往前～～～

<=構圖。

有負環說明無解。

求不出最短路（為inf）為任意解。

>=構圖時類似。

以上為我的一點短見，希望各位大牛不吝批評指正！！！

差分約束系統

差分約束系統

差分約束系統

差分約束系統

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