差分約束系統
x1 - x2 <= 0
x1 - x5 <= -1
x2 - x5 <= 1
x3 - x1 <= 5
x4 - x1 <= 4
x4 - x3 <= -1
x5 - x3 <= -3
x5 - x4 <= -3
不等式組(1)
全都是兩個未知數的差小於等於某個常數（大於等於也可以，因為左右乘以-1就可以化成小於等於）。這樣的不等式組就稱作差分約束系統。
這個不等式組要麼無解，要麼就有無陣列解。因為如果有一組解的話，那麼對於任何乙個常數k，肯定也是一組解，因為任何兩個數同時加乙個數之後，它們的差是不變的，那麼這個差分約束系統中的所有不等式都不會被破壞。
差分約束系統的解法利用到了單源最短路徑問題中的三角形不等式。即對於任何一條邊u -> v，都有：
d(v) <= d(u) + w(u, v)
其中d(u)和d(v)是從源點分別到點u和點v的最短路徑的權值，w(u, v)是邊u -> v的權值。
顯然以上不等式就是d(v) - d(u) <= w(u, v)。這個形式正好和差分約束系統中的不等式形式相同。於是我們就可以把乙個差分約束系統轉化成一張圖，每個未知數xi對應圖中的乙個頂點vi，把所有不等式都化成圖中的一條邊。對於不等式xi - xj <= c，把它化成三角形不等式：xi <= xj + c，就可以化成邊vj -> vi，權值為c。最後，我們在這張圖上求一次單源最短路徑，這些三角形不等式就會全部都滿足了，因為它是最短路徑問題的基本性質嘛。
話說回來，所謂單源最短路徑，當然要有乙個源點，然後再求這個源點到其他所有點的最短路徑。那麼源點在哪呢？我們不妨自已造乙個。以上面的不等式組為例，我們就再新加乙個未知數x0。然後對原來的每個未知數都對x0隨便加乙個不等式（這個不等式當然也要和其它不等式形式相同，即兩個未知數的差小於等於某個常數）。我們索性就全都寫成xn - x0 <= 0，於是這個差分約束系統中就多出了下列不等式：
x1 - x0 <= 0
x2 - x0 <= 0
x3 - x0 <= 0
x4 - x0 <= 0
x5 - x0 <= 0
不等式組(2)
對於這5個不等式，也在圖中建出相應的邊。最後形成的圖如下：
圖1
圖中的每一條邊都代表差分約束系統中的乙個不等式。現在以v0為源點，求單源最短路徑。最終得到的v0到vn的最短路徑長度就是xn的乙個解啦。從圖1中可以看到，這組解是。當然把每個數都加上10也是一組解：。但是這組解只滿足不等式組(1)，也就是原先的差分約束系統；而不滿足不等式組(2)，也就是我們後來加上去的那些不等式。當然這是無關緊要的，因為x0本來就是個局外人，是我們後來加上去的，滿不滿足與x0有關的不等式我們並不在乎。
也有可能出現無解的情況，也就是從源點到某乙個頂點不存在最短路徑。也說是圖中存在負權的圈。這一點我就不展開了，請自已參看最短路徑問題的一些基本定理。
其實，對於圖1來說，它代表的一組解其實是，也就是說x0的值也在這組解當中。但是x0的值是無可爭議的，既然是以它作為源點求的最短路徑，那麼源點到它的最短路徑長度當然是0了。因此，實際上我們解的這個差分約束系統無形中又存在乙個條件：
x0 = 0
也就是說在不等式組(1)、(2)組成的差分約束系統的前提下，再把其中的乙個未知數的值定死。這樣的情況在實際問題中是很常見的。比如乙個問題表面上給出了一些不等式，但還隱藏著一些不等式，比如所有未知數都大於等於0或者都不能超過某個上限之類的。比如上面的不等式組(2)就規定了所有未知數都小於等於0。
對於這種有乙個未知數定死的差分約束系統，還有乙個有趣的性質，那就是通過最短路徑演算法求出來的一組解當中，所有未知數都達到最大值。下面我來粗略地證明一下，這個證明過程要結合bellman-ford演算法的過程來說明。
假設x0是定死的；x1到xn在滿足所有約束的情況下可以取到的最大值分別為m1、m2、……、mn（當然我們不知道它們的值是多少）；解出的源點到每個點的最短路徑長度為d1、d2、……、dn。
基本的bellman-ford演算法是一開始初始化d1到dn都是無窮大。然後檢查所有的邊對應的三角形不等式，一但發現有不滿足三角形不等式的情況，則更新對應的d值。最後求出來的d1到dn就是源點到每個點的最短路徑長度。
如果我們一開始初始化d1、d2、……、dn的值分別為m1、m2、……、mn，則由於它們全都滿足三角形不等式（我們剛才已經假設m1到mn是一組合法的解），則bellman-ford演算法不會再更新任合d值，則最後得出的解就是m1、m2、……、mn。
好了，現在知道了，初始值無窮大時，算出來的是d1、d2、……、dn；初始值比較小的時候算出來的則是m1、m2、……、mn。大家用的是同樣的演算法，同樣的計算過程，總不可能初始值大的算出來的結果反而小吧。所以d1、d2、……、dn就是m1、m2、……、mn。
那麼如果在乙個未知數定死的情況下，要求其它所有未知數的最小值怎麼辦？只要反過來求最長路徑就可以了。最長路徑中的三角不等式與最短路徑中相反：
d(v) >= d(u) + w(u, v)
也就是d(v) - d(u) >= w(u, v)
所以建圖的時候要先把所有不等式化成大於等於號的。其它各種過程，包括證明為什麼解出的是最小值的證法，都完全類似。
最近幾天系統得學習了一些差分約束系統的原理，特此記錄如下：
所謂差分約束系統，是指一組不定方程(a,x,t,b)，其中a的每行有乙個1，乙個-1，其餘為0，x為解向量，t為<=或》=組成的向量，b為約束向量。具體來說，就是每行都具有 xi-xj >=|<= bi 的形式。約束的目標是使得目標函式xt-xs最大或最小。
這是典型的線性規劃的個案，但是也可以轉化為圖論來做，利用最短路（或最長路）方法可以實現高效的解決方案。
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差分約束 若 s a s b k 建一條b到a 的長度為k的邊 若s a s b k 建一條b到a 的長度為 k的邊 是求最小值的最長路 是求最大值的最短路 注意到最短路演算法的鬆弛操作 if d j d i w i j d j d i w i j 這其中的三角形不等式 d j d i w i j ...
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