這篇部落格主要是想講一下超級卡特蘭數(大施洛德數),順帶就想講一下卡特蘭數.
卡特蘭數記為\(c_n\)
\(c_1=1\)
\(\forall n \geq 2, c_n=\sum_^c_i c_\)
前幾項大概是: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132......
直接遞推未免效率太低,我們考慮用生成函式優化.
顯然有\(c(x)=c(x)^2+x\)
解得\(c(x)=\over 2}\)
將\((1-4x)^\)用廣義二項式定理展開
得到\(c(x)\)中\(x^n\)項係數為\(\frac 1 n \binom \)
1.\(n+1\)邊形的三角剖分方案數.
注意到任意三角形一定是某一條邊在多邊形上,然後再選乙個不是這條邊的端點的點,而且注意到這樣乙個三角形不會被計算兩次,所以會得到乙個類似於卡特蘭數的遞推式.
如果直接列舉一條邊然後分成兩邊的話,是算不對的,因為可能乙個點不與多邊形上任意非相鄰點連邊.如果要強行這麼算的話,那就得列舉所有的邊然後除以算重的次數.
2.\(n\)個數的連乘積,只用結合律(加括號)來改變乘法順序,問有多少中乘法的順序.
考慮列舉最後是哪兩個數相乘,不難發現是卡特蘭數的形式.
3.\(n-1\)對括號的括號序列的合法方案數.
列舉第乙個左括號所對應的右括號的位置即可.
4.從(0,0)到(n-1,n-1),每次只能往右或往上走,求不超過\(y=x\)這條直線的方案數.
考慮第一步肯定是往右邊走,然後列舉第乙個經過\(y=x\)這條直線的位置.
另外一種思路,將條件變成不經過\(y=x+1\)這條直線,那麼尋找(0,0)關於\(y=x+1\)的對稱點
(-1,1),顯然每一條從(0,0)到(n-1,n-1)的不合法路徑對應一條從(-1,1)到(n-1,n-1)的不合法路徑.
記超級卡特蘭數為\(s_i\)
有\(s_1=1\)
\(\forall i \geq 2,s_i=s_+\sum_^s_is_\)
寫成生成函式的形式是\(s(x)=xs(x)+s(x)^2+x\)
解得\(s(x)= \over 2}\)
如果還是用廣義二項式定理展開的話,經過複雜化簡,可以得到\(s_n=\sum_^n \binom c_i\),後面我們可以看見,這個式子有著清晰的組合意義.
不過網上還有一種\(o(n)\)遞推的方法,簡而言之就是快速求出\(\sqrt\)
接下來給出的一種方法,可以在\(o(nk)\)的複雜度快速求出k次多項式開方後前n項的值
設要開方的多項式為\(p(x)\),開方後的多項式為\(f(x)\).
有\(f(x)=p(x)^=\sum_^ f_i x^i\)
兩邊求導,可得\(f'(x)=\frac 12 p(x)^ p'(x)\)
有\(f(x)p'(x)=f'(x)p(x)\)
對比每一項係數,不難得到k+1項的遞推式.
最後給出遞推公式:\((n+1)f_=(6n-3)f_n-(n-2)f_\),不過要注意這個遞推公式除了第一項其他的項都是超級卡特蘭數的\(\frac12\)
組合意義
相比卡特蘭數,超級卡特蘭數的唯一區別就是在遞推的時候加了乙個\(s_\),那麼其組合意義也可以看做是卡特蘭數的擴充套件.
1.\(n+1\)邊形的任意剖分方案數.
還是考慮列舉一條多邊形上的邊,那麼有可能這條邊仍然與另乙個點拉成乙個三角形,也有可能這條邊上沒有,那麼把這兩種加起來就是定義的遞推式
2.括號序列,每個位置可能左括號,右括號和0.括號對數與0的個數之和為n-1, 問合法的括號序列數.
同樣列舉第乙個是左括號還是0.
值得一提的是,可以看成先插括號再插0,那麼列舉括號對數i,0有n-i-1個,需要放入2i+1個位置中,那麼不難得到上面通過廣義二項式推出來的式子.
3.從(0,0)到(n-1,n-1),每次能往右,往上,往右上走,求不超過\(y=x\)這條直線的方案數.
列舉第一次是走右上還是走右.
同樣使用容斥思想,把答案轉化為從(0,0)到(n-1,n-1)減去(-1,1)到(n-1,n-1).
那麼從(0,0)到(n,m)的路徑條數怎麼求呢.可以考慮列舉往右上的次數,然後還是考慮先走右和上,然後再把走右上的插入即可.
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