標籤： 第二類斯特林數
最近做題的時候遇到了一些跟第二類斯特林數有關的東西，發現網上的資料不是很多，於是寫一篇部落格來總結一下。
第二類斯特林數\(s(n,m)\)表示的是把n個不同的小球放在m個相同的盒子裡方案數。
upd:為了看得清楚，有時候我們也用\(\begin n \\ m\end \)來表示\(s(n,m)\)
一般有兩種求法。
遞推：\(s(n,m)=s(n-1,m-1)+ms(n-1,m)\)
即討論第乙個球是否單獨在乙個盒子裡面。
如果不獨佔一盒，那麼把這個球放進任乙個盒子，這個盒子就相當於與其他的盒子不同，那麼在乘答案的時候就要多乘乙個m.
容斥原理:
\[s(n,m)=}\sum_^m (-1)^k c(m,k)(m-k)^n
\]即列舉空盒的個數，剩下的隨意放置，由於盒子是相同的最後要除以\(m!\)
注意到這個式子是乙個卷積，所以可以在\(o(nlogn)\)內求出\(s(n,0),s(n,1)......\)
只有乙個公式
\[n^k=\sum_ ^k s(k,i)×i!×c(n,i)
\]很好理解，左邊就是k個球可以任意放置在n個盒子裡。
右邊就是列舉非空盒子的數量i，那麼把k個球放在i個盒子（盒子不同，需要乘上乙個i!）裡面再乘上選出i個非空盒子的方案數。
有了這個東西，我們可以很方便的維護一些東西。
upd:感覺以前寫的菜爆了。。。。更新一點吧
上面的性質與求法都是基於組合意義而來的，接下來我們採用乙個具有組合意義的等式，將其通過一些變換得到上面的等式。
\[n^m=\sum_^m \begin m \\k \end n^
\]\(x^\)是\(x\)的\(k\)次下降冪，就是\(x \times (x-1) \times(x-2)....\times(x-k+1)\)
(其實就是上面的性質啦)
當然準確來說這個式子才是定義式，因為這個式子具有清晰的組合意義。
這個式子可以方便的得到遞推式：
\[\sum_^m \begin m\\k\end n^=
\sum_^ \begin m-1\\k-1\end n^} +\sum_^ k\begin m-1\\k\end n^} =\\
\sum_^ \begin m-1\\k\end n^} +\sum_^ k\begin m-1\\k\end n^}
=(n-k+k)n^=n^m\]
當然這個步驟寫的不太嚴謹，如果把上面的式子倒過來就是正確的證明步驟，但是這樣推就不太好想（不過我們已經知道了結論就隨便了）。
好像還有乙個等式？
\[\begin m \\k \end=}\sum_^k (-1)^ \binom i^m
\]再來審視一下之前的定義式。
\[k^m=\sum_^k \begin m \\i \end i! \binom
\]我們把\(m\)看作常量，令\(f_i=i^m,g_i=\begin m \\i \end i!\)。
那麼\(\binom\)相當於從\(g_i\)到\(f_k\)的乙個轉移矩陣
直接二項式反演，得
\[\begin m \\k \end k!=\sum_^k (-1)^ \binom i^m
\]再把\(k!\)移過去就得到最初的式子了。
對第二類斯特林數的反演。
\[q_n=\sum_^\beginn \\ i\endp_i \leftrightarrow p_n=\sum_^(-1)^\beginn \\ i\endq_i
\]其中\(\begin n\\ m\end\)是第一類斯特林數，也可以寫作\(s(n,m)\)，在不作特殊的說明情況的下（即\(s_s(n,m)\)代表有符號的第一類斯特林數），本文中寫到的均為無符號的第一類斯特林數。
在這裡，我們只需要知道\(s(n,m)\)的生成函式。
\[x^=\sum_^m (-1)^\begin m\\k\end x^k\quad [1]
\\x^=\sum_^m \begin m\\k\end x^k \]
其實這差不多就是有符號和無符號的區別，乙個是下降冪，乙個是上公升冪。
我們發現，這個式子與上面第二類斯特林數的定義式出奇的像。
\[x^m=\sum_^m \begin m \\k \end x^ \quad [2]
\]將\([1]\)式帶入\([2]\)中，得
\[x^m=\sum_^m \begin m \\k \end \sum_^k (-1)^\begin k\\l\end x^l \\
=\sum_^m x^l \sum_^m (-1)^\begin m \\k \end\begin k\\l\end\]
顯然得到等式
\[[l=m]=\sum_^m (-1)^\begin m \\k \end\begin k\\l\end
\]接下來，我們將斯特林反演的兩式相互帶入，不難得出其等價與上式。
值得一提的是，我們令矩陣\(f_=\begin i \\ j \end,g_=(-1)^ \begin i\\ j \end\)
那麼根據上面的式子，有\(fg=e\)，即矩陣\(f,g\)互逆。
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