問題
《程式設計之美》第4.3節中提到了「買票找零」問題，查閱了下資料，此問題和卡特蘭數 cn有關，其定義如下：
卡特蘭數真是乙個神奇的數字，很多組合問題的數量都和它有關係，例如：
***yyy xyxxyy xyxyxy xxyyxy xxyxyy
((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))
在《enumerative combinatorics》一書中，竟然提到了多達 66種組合問題和卡特蘭數有關。
分析「卡特蘭數」除了可以使用公式計算，也可以採用「分級排列法」來求解。以 n對括弧的合法匹配為例，對於乙個序列 (()而言，有兩個左括弧，和乙個右括弧，可以看成「抵消了一對括弧，還剩下乙個左括弧等待抵消」，那麼說明還可以在末尾增加乙個右括弧，或者乙個左括弧，沒有左括弧剩餘的時候，不能新增右括弧。
由此，問題可以理解為，總共 2n個括弧，求 1～2n級的情況，第 i 級儲存所有剩餘 i 個左括號的排列方案數。 1～8級的計算過程如下表：
計算過程解釋如下： 1級:只能放 1個「(」； 2級:可以在一級末尾增加乙個「）」或者乙個「 (」
以後每級計算時，如果遇到剩餘 n>0個「(」的方案，可以在末尾增加乙個「 (」或者「 )」進入下一級；遇到剩餘 n=0個「(」的方案，可以在末尾增加乙個「 (」進入下一級。
奇數級只能包含剩餘奇數個「（」的排列方案從表中可以看出，灰色部分可以不用計算。偶數級只能包含剩餘偶數個「（」的排列方案
解法關鍵**為：
double catalan(int n)其中：}return arr[0];
}
n為 cn中的 n；
arr = new double[n + 1];//arr[i]代表有 k個括弧的時候，剩餘 "("個數為 i的排列方案個數 arr[1] = 1;
討論演算法複雜度為= o(n^2)，空間複雜度為 o(n+1)。相對於利用公式計算而言，此方法的優勢在於——沒有乘除法，只有加法。
catalan（卡特蘭）數
一 h n h 0 h n 1 h 1 h n 2 h n 1 h 0 其中n 2 h 0 h 1 1 h n 4n 2 n 1 h n 1 n 1 h 0 1 h n c 2n,n 一般情況 要取模 下的求法 簡單的catalan模板題 這個題要取1e9 7的模，直接按照公式h n 4n 2 n ...
Catalan數（卡特蘭數）
卡特蘭數 規定h 0 1，而h 1 1，h 2 2，h 3 5，h 4 14，h 5 42，h 6 132，h 7 429，h 8 1430，h 9 4862，h 10 16796，h 11 58786，h 12 208012，h 13 742900，h 14 2674440，h 15 969484...
卡特蘭數 Catalan數
卡特蘭數 規定h 0 1，而h 1 1，h 2 2，h 3 5，h 4 14，h 5 42，h 6 132，h 7 429，h 8 1430，h 9 4862，h 10 16796，h 11 58786，h 12 208012，h 13 742900，h 14 2674440，h 15 969484...