若$}與$}為收斂數列，則 \cdot b_$}為收斂數列，且有 $lim_ ( a_ \cdot b_ ) = lim_ a_ \cdot lim_ b_ $
證明：設$lim_a_ = a, lim_b_ = b$, 則 $\forall>0$, 分別存在正數$n_$與正數$n_$, 有
$\left|a_-a\right| < \epsilon$, 當 n > $n_$
$\left|b_-a\right| < \epsilon$, 當 n > $n_$
設n = max$，$n_$}，則當 n > n 時上述兩不等式同時成立，所以有
$\left|a_b_ - ab \right|$ = $\left|a_b_ - a b_ + ab_ - ab \right|$
= $\left|(a_ - a )b_ + a(b_ - b) \right|$
由收斂數列的有界性定理，存在正整數m，對一切 n 有$\left|b_\right|$ < m. 於是，當 n>n 時，
$\left|a_b_ - ab \right| \le $ ( m + $\left|a\right|) \epsilon $
由 $\epsilon$ 的任意性，可得 $lim_a_b_ = ab$,
證畢.
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