網際網路找的e是無理數的初等證明

2022-03-27 09:32:50 字數 583 閱讀 5969

e的兩種計算方式

\(e=lim_(1+\frac)^n\)

\(e=\sum_^\frac\)

\(即,e=\frac+\frac+\frac\frac+\cdot\cdot\)

\(所以2=3

\(即2

\(可知e不是整數,用反證法,假設e是有理數,即e=\frac,且q不是1,即q\geqslant2,則\)

\(q!\cdot e=q!\sum_^\frac\quad\quad\quad(1)\)

\(\quad\quad\quad=\sum_^q!\frac\)

\(\quad\quad\quad=\sum_^q!\frac+\sum_^q!\frac\)

\(上式的右側第二項為:\\\)

\(\sum_^q!\frac\)

\(\quad=\sum_^\frac+\frac\frac+\cdot\cdot\)

\(\quad\leqslant\frac+\frac+\frac+\cdot\cdot<=\frac\)

\((1)式的左側\quad q!\cdot e=q!\frac=(q-1)!p,是整數,而右側有分數,顯然矛盾\)

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