函式與極限
對映y=f(x),f:x->y,x是y的原像，y是x的像
滿射y中任一元素y都是x中某元素的像
單射對於x中任意兩個不同元素x1≠x2，它們的像f(x1)≠f(x2)
雙射對映f既是單射，又是滿射，則稱f為一一對映（雙射）
極限函式的極限
任意ε>0，存在正數x，使得|x|>x時就有|f(x)-a|＜ε
數列的極限
任意ε>0，存在正整數n，使得n>n時就有|xn-a|＜ε
極限存在準則
夾逼準則
單調有界數列必收斂定理
無窮小在某一極限過程中以零為極限的變數
如果f(x)的極限是a，那麼f(x)可以表示成a+無窮小
無窮小階：同階無窮小（商不為0和∞）、等價無窮小（商為1）、高階無窮小（商為0）
洛必達法則
分子分母極限都是0，都在空心鄰域可導，導數比值的極限是有限數或無窮
連續性y=f(x)在點x=x0的某鄰域內有定義，則稱f(x)在點x=x0處連續
三個條件：1.在該點有定義；2.在該點有極限；3.這個極限的值等於該點的函式值
間斷點第一類
可去、跳躍
第二類無窮
左右極限至少有乙個為∞
有界閉區間上連續函式的性質
有界性函式在這個閉區間有界
最大值最小值定理
在這個閉區間存在最大值和最小值
介值定理（中間值定理）
介於f(a)和f(b)之間的任何數，必存在f(c)等於這個數
零點存在性定理
f(a)和f(b)異號，那麼存在c點使f(c)=0
一元函式導數與微分
可導的充要條件
左右導數均存在且相等
導數的幾何意義
切線的斜率
微分的幾何意義
曲線切線上點的縱座標的相應增量
求導法則
和差積商
反函式復合函式
鏈式法則
一元函式積分
原函式f'(x)=f(x)或df(x)=f(x)dx
定積分幾何意義
曲線f(x)、x軸、x=a、x=b之間各部分面積的代數和，x軸上方面積取＋，下方面積取-
可積的充分條件
滿足其一即可：1.f(x)在[a,b]上連續；2.f(x)在[a,b]有界且只有有限個間斷點；3.f(x)在[a,b]上單調
定積分基本性質
線性、對區間的可加性質、比較定理、估值定理、積分中值定理
牛頓萊布尼茲公式
兩個條件：1.f(x)在[a,b]上連續；2.f(x)是f(x)在[a,b]上的乙個原函式
f(x)在(a,b)上的積分=f(b)-f(a)
求積分方法
分項積分法、分段積分法、換元積分法（湊微分法、變數代換）、分部積分法
反常積分(廣義積分)
定義：上界或下界為無窮
瑕點：f(x)在點x=x0的任一鄰域內都無界
瑕積分：無界函式的反常積分
曲率k=|dα/ds|
微分中值定理
極值f(x)<=f(x0) 注意是≤!
費馬定理
若函式在x0這一點可導且取得極值，那麼這一點的導數為0
幾何意義：極值點的切線一定與x軸平行，這一點也叫駐點
羅爾定理
閉區間連續開區間可導，f(a)=f(b)，那麼a和b之間存在一點使其導數為0
幾何意義：a和b之間每一點都有不垂直於x軸的切線，a和b的縱座標相等，那麼a，b之間至少存在一點使曲線在p點處的切線平行於x軸
拉格朗日中值定理
閉區間連續開區間可導，a和b之間存在一點使f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
幾何意義：a和b之間每一點都有不垂直於x軸的切線，那麼曲線在a和b之間至少存在一點p使得p處的切線與割線ab平行
柯西中值定理
f(x)和g(x)在閉區間連續開區間可導，g'(x)≠0，那麼在a和b之間存在一點c使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(c)/g'(c)
凹凸性定義
閉區間連續開區間可導，恒有f(x)+f'(x0)(x-x0)>(<)f(x)，則f(x)在[a,b]上是凸（凹）的
幾何意義
任意點處的切線總在該曲線的上方（下方），則該曲線是凸（凹）的
充要判別定理
凸（凹）：f'(x)在(a,b)是單調減(增)函式
幾何意義
凸（凹）：f(x)在(a,b)的切線斜率是單調減少（增加）的
凹凸性區間的求法
f''(x)=0的根及f''(x)不存在的f(x)的連續點
拐點定義
左右側凹凸性正好相反
必要條件
f''(x0)=0或f''(x0)不存在
漸進線垂直
極限是無窮大
水平x趨近於正無窮時，f(x)趨近於乙個常數
傾斜x趨近於正無窮時，f(x)/x趨近於乙個常數
泰勒公式
如果是在x0這一點泰勒展開，那麼f(x)等於f(x)在x0這一點的i階導乘以(x-x0)的i次方，除以i的階乘的累加和，最後加上拉格朗日餘項或皮亞諾餘項
如果在0處展開，那麼這個泰勒公式也叫麥克勞林公式
拉格朗日餘項
x和x0之間存在一點c，那麼餘項是f(x)在c這一點的n+1階導，乘以(x-x0)的n+1次方，除以(n+1)的階乘
皮亞諾餘項
(x-x0)n次方的無窮小量
常微分方程
向量代數和空間解析幾何
多元函式微分
可微與可導
一元函式中可導與可微等價
多元函式中，可導是可微的必要條件，可微是可導的充分條件
鏈鎖法則
z=f(u,v,w)，z對x的偏導等於f對u的偏導乘以u對x的偏導
駐點f對x的偏導為0，f為y的偏導為0
方向導數
若函式在某點可微，那麼方向導數指乙個函式沿指定方向的變化率
梯度函式在該點的方向導數最大的方向
多元函式積分
曲線積分
第一類（對弧長）
第二類（對座標）
曲面積分
第一類（對面積）
第二類（對座標）
空間圖形的體積
積分區域dxdy為底面積，高為函式
積分區域為dxdy為體積
格林公式
建立了平面上曲線積分與二重積分的聯絡
高斯公式
建立了曲面積分與三重積分之間的聯絡
斯托克斯公式
建立了空間曲線積分與曲面積分之間的關係
通量與散度
利用高斯公式
環流量與旋度
利用斯托克斯公式
無窮級數
常數項級數
幾個重要級數
幾何級數
q的n次方，n從0開始累加
|q|<1時收斂，|q|>=1時發散
p級數n的p次方分之一，n從1開始累加
p>1時收斂，p<=1時發散
斂散性判斷
正項級數
比較判別法
與幾何級數比較
比值判別法（達朗貝爾判別法）
根值判別法
與p級數比較
交錯級數
萊布尼茲判別法
任意項級數
絕對收斂
絕對值的級數收斂
條件收斂
級數收斂，絕對值的級數發散
冪級數冪級數求和與求函式的冪級數展開式的方法
直接法根據泰勒係數求
間接法變數替換、四則運算、逐項求導、逐項積分、待定係數
傅利葉級數
收斂性——迪利克雷條件
連續，或只有有限個間斷點，且都是第一類間斷點
只有有限個極值點
考研複習 高等數學
一.對映 對一般非空集合而言 形成對映 要有兩個非空集合x,y。x,y分別是x,y中的元素，x中的元素x由某種對映關係f與y中元素y相對應。x是原像，y是像。x的取值範圍稱為定義域，y的取值範圍稱為值域。二.逆對映和復合對映 單射 若x1，x2分別對應的y1，y2也不相等，稱為單射。即x與y一一對應...
高等數學複習之偏導數
對於導數還有些印象，對於偏導數，只知道名字了，大學這一年的高數，看來是都還給老師了.1 偏導數的作用？與導數一樣，反映的是二元函式的變化率，只不過多了乙個自變數。2 偏導數的幾何意義？有個圖更直觀些。要解決的問題 在xoy平面內，當動點由p x0,y0 沿不同方向變化時，函式f x,y 的變化快慢一...
高等數學導學 九七的高等數學
高等數學 以數二為基準，後續會補充 我比較放肆和大膽的說一句，很多人學數學根本就沒有學懂，只知道個公式，會解幾道題，這樣的學習跟背書沒什麼區別。哪怕對於應試，這樣也拿不到高分。學習本就是x 1的過程，數學更是如此，少了一環，對後面來說都有極大的影響。學數學，第乙個是認知，這是學數學的前提。沒有乙個系...