要判斷乙個函式的有界性，首先要從定義出發。
函式的有界性定義：設y=f(x)的定義域為d，在d內，若存在乙個正數m，使得對於任意d中的x,恒有│f(x)│≤m。則稱函式y=f(x)在d上有界,亦稱f(x)在d上是有界函式.如果不存在這樣的正數m,則稱函式y=f(x)在d上無界,亦稱f(x)在d上是無界函式。
下面看例題：
例1：y=x/(1+x^2)
解：定義域為r
整理為y=1/[(1/x)+x]
因為分母中 [(1/x)+x ] >= 2根號[(1/x)*x] = 2
所以 y <= 1/2
同理可得y>=-1/2
即 |y|<=1/2 , 故該函式有界。
例2：y=sin(1/x) ,x不等於0
解：1/x的範圍為(-無窮，0)∪（0,+無窮）
所以sin(1/x)範圍為 [-1,1]
即 |y|<=1 ,故該函式有界。
例3：y=xcosx
解：令x=2kπ，k∈z
則cosx=1 , y = 2kπ
當k–>±無窮，同時y–>±無窮
故該函式無界。
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