只證上界存在，下界同理。
【證明】
反證法，假設f(x)在閉區間[a,b]上連續，假設沒有上界
\(則\forall n\in n,\exists x_\in [a,b],\)
\(有f(x_)>n\quad\quad\quad\quad\quad\quad(1)\)
\(因為x_\in[a,b]，故x_有界\)
\(故，可從中取出乙個收斂子列，記為x_}，由(1)式有f(x_})>n_\)
\(lim_}\to\infty}f(x_})=+\infty\quad\quad(2)\)
\(因為lim_\to\infty}x_}=x_\)
\(所以,根據連續函式定義，可得：lim_\to\infty}f(x_})=f(x_)\)
\(與(2)式矛盾\)
\(證畢\)
\(下界同理\)
【注意】
\(如果是開區間，則有的函式有界，例如y=x,在開區間(0,1)上連續，且有界\)
\(但是f(x)=\frac在開區間(0,1)連續，但是無界，當x\to 0時,f(x)\to+\infty\)
1 9 閉區間上連續函式的性質
什麼叫函式在閉區間上連續？用影象表示 定理1 最值定理 若f x c a,b 則在 a,b 上一定能夠取到最小值m和最大值m，即存在x1，x2屬於 a,b 使得f x1 m，f x2 m 註解 函式在閉區間上連續是能取到最小值和最大值的充分不必要條件，如圖 定理2 有界定理 若f x c a,b 則...
用有限覆蓋證明閉區間上的連續函式，必然一致連續
設f x 是 a,b 上連續函式，則f x 在 a,b 上必然一致連續 證明 因為f x 在 a,b 上連續，所以任取 a,b 內一點x 任給 frac 0 exists delta x 0,對於任何x in a,b 且異於x 若 x x 因為這個 delta與x 的選取有關，對於同乙個 epsil...
漫步數學分析十八 緊集上連續函式的有界性
現在我們證明連續實值函式的乙個重要性質，即有界定理。有界定理表明連續函式在緊集上是有界的並且在集合上的某些點取得最大值與最小值，準確的描述放到定理5中。為了理解上面的結論，我們考慮非緊集上函式會發生什麼情況。首先，連續函式不一定是有界的，圖 給出的是開區間 0 1 上的函式f x 1 x，隨著 x ...