綜述
線性代數的學習，比起計算方法，更重要的是掌握它的本質含義，這一點是非常重要的。矩陣不僅僅是數字排列而成的表而已，如果我們嘗試從空間的角度去理解矩陣，我們會發現，它的「意蘊」是非常豐富有趣的。
其實，本質上來說，矩陣就是對映，在空間上的一種對映。
舉個例子來闡述這個觀點：假設有乙個m * n的矩陣a， 在n維空間中的點x（n * 1 的列向量），則經過矩陣a的對映，就像n維空間中的點x對映到了m維空間中去了（ax, m維的列向量）。
接下來，我將從空間的角度，去闡述一些基本概念：對角矩陣、行列式、特徵值、特徵向量、對角化、秩與可逆化。
首先，不得不說一下單位矩陣，也就是標準空間。（本文只列舉二維空間的變換， 也就是只用二階矩陣來闡述一些概念， 這些概念同樣適用於n維的向量空間）
單位矩陣e，沿著矩陣的對角線的數為1， 其它的數全為0。（例如：
\left\1&0\\0&1\end\right\}
）在這裡，我將直接闡述一些概念的「空間意義」。
一、對角矩陣：
設矩陣a=
\left\1.5&0\\0&0.5\end\right\}
， 那麼，在矩陣a的作用下， 空間會產生怎樣的變化呢？
該空間將發生如下變化：水平方向上將會伸縮為原來的1.5倍，垂直方向上將伸縮為原來的0.5倍。則面積擴大為原來（1 * 1）的1.5 * 0.5倍，即行列式det***a*** = 0.75。
如果矩陣變成了a=
\left\0&0\\0&0.5\end\right\}
， 又會帶來怎樣的變化呢？
水平方向上變為原來的0倍？垂直方向上還是變為原來的0.5倍？對， 沒錯，通過這樣的變換之後，水平方向被壓縮後與垂直方向重合，也就是說，空間的維度由原來的2維降到了1維空間。
那，如果矩陣變成了a=
\left\1.5&0\\0&-0.5\end\right\}
呢？這個時候，垂直方向變為原來的-0.5倍，即上下顛倒後縮短為原來的0.5，而deta<0。
通過這樣的乙個簡單例子，會給我們帶來乙個怎麼樣的思考呢？
首先，對比對角矩陣與單位矩陣，沒錯，單位矩陣，也是對角矩陣。然後呢？有沒有發現，這種伸縮率是相比於1的？也就是單位矩陣，單位空間。再然後呢？會發現，這種變換，它們僅僅只是在每乙個維度上進行的，並沒有影響另外乙個維度。其實從這裡我們便可以得到啟發：即使看似是n維的問題，實際上也只是n個一維問題而已。我們只需要將這n個一維問題「合成」一下即可。
二、特徵值、特徵向量、對角化：
從幾何意義上講，特徵向量乘上矩陣a之後，矩陣a所表示的向量空間除了長度有伸縮變化之外，方向不發生改變。這裡的長度變化倍率，便是特徵值。
假設乙個矩陣a=
\left\1&-0.3\\-0.7&0.6\end\right\}
，那麼在a的作用下，空間將會發生傾斜變形，不過，這並非扭曲，直線仍然是直線，平行關係仍然保持著平行關係。這是一種怎樣的變化呢？第一列
\left\1\\-0.7\end\right\}
，為標準向量空間的乙個基向量
\left\1\\0\end\right\}
經過某種對映關係所成的像（變換之後的目標點，這裡的目標點的參考係是原來的向量空間）。同樣道理，矩陣a的第二列，是標準向量空間的另乙個基向量
\left\0\\1\end\right\}
經過某種對映關係所成的像。
對角化：什麼是對角化呢？同樣以該矩陣a為例來解釋。對於乙個標準向量空間，通過矩陣a的作用後，變成了另外乙個向量空間，這一向量空間，相對於標準向量空間是傾斜的，。但是，如果我們嘗試把變換之後的向量空間作為標準向量空間的話，我們便可以把矩陣a對角化。那麼，在這樣乙個新的「標準向量空間」下，原來的標準向量空間便是傾斜的。所以，對角化的過程，就是將某一向量空間「標準化」的過程。（我覺得是可以這樣理解的。）
三、 秩與可逆性：
秩，就是像的維度。其實，秩這個概念也可以結合著特徵向量的線性相關性，線性無關性來理解。而線性相關性和線性無關性又和向量空間的維度是有關係的。這裡暫時先不具體展開。
壓縮扁平化，如果經過某一矩陣的對映之後，出現了降維的情況，也就是像的維數比原來降低，那麼這時候的矩陣被稱為奇異矩陣。也就是說，我們不能再通過某種變換，將該被壓縮的向量空間復原。相反的，如果沒有發生扁平化，那麼我們便可以將該向量空間再次通過某種對映恢復回來，則稱該矩陣為非奇異矩陣（可逆矩陣）。
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