今天我讀到孟巖大神 @myan的文章系列——理解矩陣，便聯想起之前看過的linear algebra（mit）。
孟巖的文章給出了對空間、向量、矩陣的非常有趣的理解，讓人愛不釋手。而mit的課程則教會了我計算矩陣乘法的好幾種方法。這種深度和角度，在我大學學習線性代數的過程中是完全沒有的，即使我這門課考了98分。
然而，孟巖的文章只是告訴了我們如何理解向量、矩陣、線性空間，如何理解矩陣的乘法，對於乘法具體怎麼操作，其實並沒有怎麼提到。同時，mit的課程也只是教了幾種不同的乘法操作，並沒有講到為什麼這麼做。
那麼兩者結合，我總結一下如何理解和計算矩陣的乘法。
先宣告一點：左乘和右乘原理一樣，所有列變成行、右變成左即可。
矩陣與向量的乘積：
ma=b
矩陣相乘：
mn=p
其中m，n，p是n*n階矩陣，a, b是n維列向量。
以下舉例說明ma=b：
1、這是大學老師教的元素法：ma=b ⎛⎝
⎜130
2841
11⎞⎠
⎟⎛⎝⎜
121⎞
⎠⎟=⎛
⎝⎜1×
1+2×
2+1×
13×1
+8×2
+1×1
0×1+
4×2+
1×1⎞
⎠⎟=⎛
⎝⎜620
9⎞⎠⎟
這種方法是從解線性方程組而得來，即向量a是n個未知數的解，矩陣m每一行是乙個方程，行中的數對應未知數對應的係數，向量b是方程組「=」右邊的數。
2、mit課程中介紹的列組合法：ma=b
（看成矩陣m的列的線性組合，也就是向量的線性組合） ⎛⎝
⎜130
2841
11⎞⎠
⎟⎛⎝⎜
121⎞
⎠⎟=1
⎛⎝⎜1
30⎞⎠
⎟+2⎛
⎝⎜28
4⎞⎠⎟
+1⎛⎝
⎜111
⎞⎠⎟
向量這玩意兒其實是在空間上基（座標系）的投影值的乙個排列，排列順序對應基的順序，如b ⎛⎝
⎜6209
⎞⎠⎟
就看作是在常見的忽略不寫的基i下的投影值的排序 ⎛⎝
⎜⎜⎜⎜
⎜⎜⎜⎜
⎜⎜⎜⎜
⎜⎜⎜⎜
6⎛⎝⎜
100⎞
⎠⎟20⎛
⎝⎜01
0⎞⎠⎟
9⎛⎝⎜
001⎞
⎠⎟⎞⎠
⎟⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎟
看到這兒，你應該恍然大悟了吧。
對於ma=b，向量a其實就是在座標系m（基為m的各列）下向量b的表示形式。當然，b其實就是ib，b在座標系i下。
其實在數學上也有解釋，ma=b，不僅可以看作向量的線性組合，而且更一般的，其實是一種對映，從n維空間的每乙個向量a對映到m維空間的向量b（假設m有m行n列）。
b其實是a（m作用下）的像。
更簡單的，把上文的對映替換成函式（函式是特殊的對映），a, b不就類似於高中學的x，而m類似於f（x）嗎？
再來看矩陣與矩陣相乘mn=p：
有了矩陣與向量的乘法，矩陣相乘就很好理解了。
1、大學教的元素法：
m的第i行與n的第j列相乘=p的第i行第j列元素pi
j 2、mit的方法：
元素法：如1。
列方法：m乘以n的第j列=p的第j列。
行方法：與列方法相似。
是不是清楚多了。
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