摘要：本節主要介紹歐氏空間中子空間與對稱變換在考研中的考察，對於子空間的考察而言，更多的側重於考察正交補空間；而對於對稱變換，大家一定要熟記定義，看到對稱變換的時候，知道如何使用定義去處理題目，達到解決問題的目的.定義1. 設
則稱為正交的，記為
乙個向量α，如果對於任意的
則稱α與子空間
記作因為只有零向量與它自身正交，所以由可知由
可知α=0.
定理1. 如果子空間
兩兩正交，那麼和
是直和.
證明：設
且我們來證明
這就是說，和
是直和.
定義2. 子空間
稱為子空間
的乙個正交補，如果
並且顯然，如果
是的正交補,那麼
也是的正交補.
定理2. n維歐氏空間v的每乙個子空間
都有唯一的正交補.
證明：如果
那麼它的正交補就是v，唯一性顯然. 下面設
歐氏空間的子空間在所定義的內積之下也是乙個歐氏空間.在
中取一組基
進一步把它擴充為v的一組正交基
顯然，子空間
就是的正交補. 再來證明唯一性.設
都是的正交補，於是
令由第二式即有
其中. 因為
所以有即由此可知
即同理可證
因此唯一性得證.
的正交補記作
由定義可知
定義3.在歐氏空間v中，線性變換
如果滿足
那麼稱是v上的對稱變換.
例1.設證明：由於是n維歐氏空間v上的線性變換，則
所以只需要證明
任取則且存在
使得於是結合
是對稱變換有
於是可得α=0，即
從而可得
例2.設證明：任取是歐氏空間v上的乙個對稱變換，如果w是
的不變子空間，那麼
也是的不變子空間.
由於w是
的不變子空間，因此對於任意有從而
因此 於是
是的不變子空間.
例3.已知是證明：設是n維歐氏空間v上的線性變換，
是v的一組基，其度量矩陣為
在這組基下的矩陣為a，則
為對稱變換的充要條件為
是v中任意的兩個向量，於是
於是
在對稱變換的基礎上，大家和巖寶一起**一下實對稱矩陣的不同特徵子空間是正交的，這一性質在解題中的應用.
例4.已知證明：因為a的每行元素之和都為3，所以可知是乙個3級正定矩陣，1是
的乙個2重特徵值，且a的每行元素之和都為3，求矩陣a.
令對於ξ單位化，即
是屬於特徵值3的單位特徵向量，同時在設
是屬於特徵值1的兩個正交的單位特徵向量，記
則t是乙個正交矩陣，且
於是因為t為正交矩陣可知
即有於是
將上式代入（1）中可得
故得到存在且唯一的矩陣
1.已知3級正定矩陣a的三個特徵值為6,3,3，且
是屬於特徵值6的乙個特徵向量,求a. 2.已知4階實對稱矩陣a的特徵值為1（三重），-3，且
是屬於特徵值1的特徵向量，求矩陣a.
3.（2017華南理工大學）設σ為歐氏空間v上的對稱變換，證明：對任意的α∈v都有
的充分必要條件為σ的特徵值全是非負實數. 4.（2003武漢大學）設
為維歐氏空間
的對稱變換，證明：
5.設σ是n維歐氏空間v上的乙個對稱變換，則v中存在乙個標準正交基，使得σ在這個基下的矩陣為對角矩陣.
加入2023年數學考研交流qq群：282581218
歐氏空間內積定義 量子力學雜談 Fock空間
一 希爾伯特空間的直和和直積 對於有限維空間的直和和直積 或稱張量積 我們不陌生，而在無窮維空間中，這也容易推廣，當然我們得考慮新的空間中的內積，以及新空間關於此內積的完備性。對於有限個空間的直和，考慮 如果我們把直和的數量推廣至可數個，那麼需要限制 那麼由柯西不等式，可保證內積存在 對於直積，我們...
歐氏空間內積定義 向量到子空間的距離與酉空間
摘要 本節主要介紹歐氏空間中子空間的距離和酉矩陣的概念，這一板塊大家在第一遍的複習過程中可以考慮記住概念，當第二遍複習強化刷題階段，看自己報考得院校是否考察酉變換，在確定是否刷對應的題目.定義1.長度 1 2 並且僅當時等號才成立 3 三角不等式 定義2.設v是複數域上的線性空間，在v上定義了乙個二...
向量空間 內積空間 歐氏空間 希爾伯特空間
向量空間乙個最大的特徵是對加法運算和數乘運算封閉。n維向量空間的定義是n維實向量全體構成的集合，同時考慮到向量的線性運算，成為實n維向量空間，用r n r n rn表示，顯然r n r n rn中任意兩個向量的和向量還是r n r n rn中的向量，r n r n rn中任意乙個向量與乙個實數的乘積...