摘要：本節主要介紹歐氏空間中子空間的距離和酉矩陣的概念，這一板塊大家在第一遍的複習過程中可以考慮記住概念，當第二遍複習強化刷題階段，看自己報考得院校是否考察酉變換，在確定是否刷對應的題目.定義1. 長度
（1）（2）
並且僅當時等號才成立；
（3）
（三角不等式）.
定義2. 設v是複數域上的線性空間，在v上定義了乙個二元復函式，稱為內積，記作
，它具有以下性質：
（1）這裡
是的共軛複數；
（2）（3）；
（4）是非負實數，且
當且僅當
這裡是v中任意的向量，k為任意複數，這樣的線性空間稱為酉空間.
首先由內積的定義可以得到：
（1）
（2）和歐式空間一樣，因為
故可定義向量的長度.
（3）叫做向量
的長度，記為
（4）柯西-布涅夫斯基不等式仍然成立，即對於任意的向量
有當且僅當
線性相關時，等號成立.
這裡巖寶要強調一點，酉空間中的內積
一般是複數，故向量之間不易定義夾角，但我們仍引入：
（5）向量
，當時稱為正交或者互相垂直.
在n維酉空間中，同樣可以定義正交基和標準正交基，並且關於標準正交基也有下述一些重要的性質：
（6）任意一組線性無關的向量可以用施密特過程正交化，並擴充成為一組標準正交基.
（7）對n級復矩陣a，用
表示以a的元素的共軛複數作元素的矩陣.如a滿足
就叫做酉矩陣，它的行列式絕對值等於1.
類似於歐氏空間的正交變換和對稱變換，可以引進酉空間的酉變換和埃爾公尺特矩陣.他們也分別具有正交變換和對稱矩陣的一些重要性質，如下
（8）酉空間v的線性變換
,如果滿足
就稱為v的乙個酉變換，酉變換在標準正交基下的矩陣是酉矩陣.
（9）如果矩陣a滿足
叫做埃爾公尺特矩陣.在酉空間中令則
也是對稱變換.
（10）v是酉空間，
是子空間，
是的正交補，則
（11）埃爾公尺特矩陣的特徵值為實數，它的屬於不同特徵值的特徵向量必正交.
（12）若a是埃爾公尺特矩陣，則有酉矩陣c，使得
是對角矩陣.
（13）設a為埃爾公尺特矩陣，二次齊次函式
叫做艾爾公尺特二次型，必有酉矩陣c,當
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