關聯：0 複習與引申、1 線性空間與線性變換
線性空間的具體模型是三維幾何空間，但是幾何空間中的度量概念——向量的長度及向量間夾角在第1章的線性空間中還沒有體現，而這種度量概念在有些問題中是需要的。本章中引進與幾何空間中向量的數量積相對應的內積，在此基礎上定義向量的長度、夾角，最後介紹幾何空間中直角座標變換相對應的等距變換。若乙個二元函式滿足四條公理：
即，要判斷乙個復（實）線性空間的復（實）函式是否為內積，只要驗證內積定義中的4條性質滿足即可。在歐氏空間中：\(<\alpha,\beta>=\beta^t \alpha\)
在酉空間中：\(<\alpha,\beta>=\beta^h \alpha\)
則該二元函式為內積，它所屬的線性空間為內積空間。
特別地，當數域為實數域時為歐氏空間；數域為複數域時為酉空間。
在數域為複數域時，用共軛轉置h來代替在實數域中的直接轉置t是因為要保證結果為正數，而複數的平方會出現負數的情況，因此要取共軛。\(cos \phi=\frac\)，稱\(\phi\)為\(\alpha\)與\(\beta\)的夾角
稱\(d(\alpha,\beta)=||\alpha-\beta||\)，為\(\alpha\)與\(\beta\)的距離。
由兩兩正交的非零向量組成的向量組稱為正交向量組
由兩兩正交的單位向量組成的向量組稱為標準正交向量組
作為正交向量組的基稱為正交基
作為標準正交向量組的基稱為標準正交基
由此，在標準正交基下的度量矩陣是單位矩陣。正交化+單位化→標準正交基
※ 注意：標準正交基不唯一。
這裡可以結合度量矩陣來計算正交化過程中每一項之前的係數。解：
正交化：\(\beta_1=\epsilon_1\)
\(\beta_2=\epsilon_2-\frac\beta_1\)=\(\epsilon_2-\frac\epsilon_1\)=\(\epsilon_2-2\epsilon_1\)
注意這裡代入了度量矩陣的\((1,1)\)和\((2,1)\)兩項。單位化：\(r_1=\frac\beta_1=\epsilon_1\)定義\(\alpha=\begin-2\\1\end\)，用於之後單位化。
\(r_2=\frac\beta_2=\frac}\beta_2=\beta_2=\epsilon_2-2\epsilon_1\)，其中\(<\beta_2,\beta_2>=\alpha^ta\alpha=\begin-2&1\end\begin1&2\\2&5\end\begin-2\\1\end=1\)
這裡「其中」後的內容很重要，結合度量矩陣簡化了運算。同普通的基一樣，標準正交基也存在擴張定理。
假設\(w\)是\(v\)的子空間，那麼\(w\)的一組標準正交基可以結合其他幾個向量擴充為\(v\)的標準正交基。
一組基的度量矩陣有如下性質：
度量矩陣的本質就是基中各向量的內積的結果。若\(a^ha=i\)，則稱n階復矩陣a為酉矩陣。
且同時滿足，\(a\)是酉矩陣\(\leftrightarrows a^ha=i \leftrightarrows a^=a^h\leftrightarrows a\)的行（列）向量組是\(c^n\)的標準正交基。
酉矩陣其實就是在複數域內的正交矩陣。設\(a\)為\(n\)階可逆陣，則存在酉陣\(u\)即主對角元恆正的上三角陣\(t\)，使
\[a=ut
，\]且這種分解唯一。
這裡的生成元指的是生成子空間中的生成向量組的概念。（可以把生成元理解為基）。詳情可以看上一章的筆記。
\[w^⊥=\left\
\]易證這是\(v\)的子空間，稱是\(v\)的正交補空間。
本質其實就是使得差向量對於線性空間的每乙個生成元都正交。等距變換就是內積空間中保持內積不變的線性變換。特別地，當\(v\)是酉空間時，稱為酉變換；當\(v\)是歐氏空間時，稱為正交變換。
對於等距變換\(f\)，以下四個條件等價：
證明內積空間的線性變換\(t\)是等距變換，只要證明\(t\)保持內積不變，或者證明\(t\)將標準正交基變成標準正交基。
備註：\(+=2re\)，這裡的\(re\)表示取實部的意思。
注意這裡的內積其實可以當做乙個數來看待，因此可以直接提出去。且單位向量的內積為1.這個例子其實就是映象變換。
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