本文簡單介紹對偶空間的基本概念。
設 線性泛函 linear functional）也構成了乙個線性空間（其中線性泛函的加法定義為
對偶空間 dual space，記作
當引入乙個空間時，很自然地就要考慮基的問題。在
這個基稱為
對偶基 dual basis。容易驗證它們確實是基，在這裡我就不寫了。由於對偶基所含向量個數也是
具體 如果我們現在有乙個線性對映
這個對映稱為
對偶對映 dual map。同樣地，容易驗證這確實是線性對映。可以證明對偶對映滿足如下性質：
定義線性空間到其對偶的對偶的對映：
，使得
首先可以知道它是乙個單射，這是因為如果
的話，那麼對於任何
都有 ，即對於任何
都有 假如
，那麼至少有乙個
，此時
，矛盾，因此
這就證明了
是單射。
這裡單射
的構造不依賴於基的選取，被稱為是乙個
典範單射 canonical injection在有限維的情形下，
同時還是雙射，即線性同構，此時的
是典範同構 canonical isomorphism。從之前的討論我們知道
不是典範的，而這裡
是典範的。
但在無限維的情形下，只有
單射的結論了，而未必是滿射。 設
是線性空間
的子集，定義 為 的
零化子 annihilator。
令 是inclusion，則可以發現
，這說明零化子
的子空間，同時也提供了看待零化子的乙個新視角。此外有
根據rank-nullity theorem，
這給出了零化子的維數公式。
下面的定理描述了對偶對映
的核：定理1
設證明：是線性對映，則
如果 是有限維的，則
下面的定理描述了對偶對映
的像：定理2
設證明：是有限維線性空間之間的線性對映，則
且
但 故
這些定理有如下直接的推論：
推論
設點此進入對偶空間目錄是有限維線性空間，
是線性對映，則
① 是單射等價於
是滿射（定理1的推論）
② 是滿射等價於
是單射（定理2的推論）
③ 是同構等價於
是同構（①②的推論）
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對偶空間（dual linear space）
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