包括兩種內積空間：
（1）實內積空間（歐氏空間）
（2）復內積空間（酉空間）
本節講歐氏空間，包括四個部分：
（1）歐氏空間
（2）正交性
（3）正交變換與正交矩陣
（4）對稱變換與對稱矩陣
歐氏空間即是實內積空間定義：
（1）歐氏空間：實數域上的 v 定義兩向量到實數的對映 (x,y)，滿足交換律、分配率、齊次性、非負性，稱為內積，v 稱為內積空間或歐氏空間；
（2）相關定義：度量矩陣（gram 矩陣、基兩兩內積），度量矩陣下 (x
,y)=
ξtaη
，其中 ξ,
η 為座標，長度（模、範數）、單位向量、單位化/規範化），夾角
y>=
arccos(x
,y)∥
x∥∥y
∥ ；
（3）不等式：三角不等式 ∥
x+y∥
≤∥x∥
+∥y∥
， ∥
(x,y
)∥≤∥
x∥∥y
∥ 。
結論：（1）合同：同一線性空間不同基的度量矩陣是合同的 b=
ctac
。
內積為零稱為成交。（證明 ⑧：r⊥
(a)=
= =
= =n
(at)
）。
使向量長度不變的變換，即是正交變換。（1）正交變換：正交變換 (x
,x)=
(tx,
tx) 、充要條件為 (x
,y)=
(tx,
ty) （證：用 (x
−y,x
−y)=
(t(x
−y),
t(x−
y)) ），正交矩陣（qt
q=i 或 qt
=q−1
）、充要條件是其列向量為兩兩正交的單位向量；
（2）充要條件：
t 是正交變換的充要條件是其對於標準正交基的矩陣是正交矩陣（注意，對於非標準正交基，
t的矩陣不一定是正交陣）；
（3）推論：正交矩陣非奇異；交陣的乘積、逆仍是正交陣；正交變換的乘積、逆仍是正交變換；標準正交基的過渡矩陣為正交陣。
實對稱陣的特徵值必是實數，且不同特徵值的特徵向量必正交。（1）對稱變換：(t
x,y)
=(x,
ty) ，
t 是對稱變換的充要條件是其對於標準正交基的矩陣是實對稱矩陣；
（2）相關結論：① 實對稱矩陣的特徵值都是實數；② 實對稱矩陣的不同特徵值對應的特徵向量是正交的。
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