前置技能
從組合數公式可以直接推出： \(k\mathrm_n^k = n\mathrm_^\)
同樣地，你可以得到 \((k-1)\mathrm_^ = (n-1)\mathrm_^\) (禁止套娃)
你還要熟悉二項式定理：
\[(p+q)^n = \sum_^n \mathrm_n^k p^k q^
你還要知道二項分布的概率和期望公式：
若 \(x\sim b(n,p)\)，則 \(p(x = k) = c_n^k \ p^k \ (1-p)^\)，\(e(x) = np\)
回歸正題
第一步當然是定義式啦
\[\begin
d(x) &=\sum_^\left[k-e(x)\right]^ \cdot p_ \\
&=\sum_^(k-n p)^ \cdot \mathrm_^ p^ q^ \\
\end
看到 \((k-np)^2\) 是不是就很想把它拆開？
\[\begin
d(x) &=\sum_^(k^2-2knp+n^2p^2) \cdot \mathrm_^ p^ q^ \\
& =\color^ k^ \cdot \mathrm_^ p^ q^} \\
&\quad -2np \color^ k \cdot \mathrm_^ p^ q^} \\
&\quad +n^2 p^2 \color^ \mathrm_^ p^ q^}
\end
這式子也太長了吧 (＃°д°)
首先你肯定會把魔爪伸向 \(\color^ \mathrm_^ p^ q^}\) —— 他就是個二項式定理嘛！
\[\color^ \mathrm_^ p^ q^} = (p+q)^n=1
然後，你看到 \(\color^ k \cdot \mathrm_^ p^ q^}\) 裡面的 \(\color_^}\) 的時候，是不是有把 \(\color_n^k}\) 換成 \(n\cdot\mathrm_^\) 的衝動？
\[\begin
&\color^ k \cdot \mathrm_^ p^ q^} \\
=& \sum_^ k \cdot \mathrm_^ p^ q^ \quad \text\\
=& \sum_^ n \cdot \mathrm_^ p^ q^ \\
=& np \cdot \sum_^ \mathrm_^ p^ q^ \\
=& np \cdot (p+q)^ \\
=& np
\end
現在只剩 \(\color^ k^ \cdot \mathrm_^ p^ q^}\) 了，首先你肯定會故技重施:
\[\begin
&\color^ k^ \cdot \mathrm_^ p^ q^} \\
=& \sum_^ k \cdot k \cdot \mathrm_^ p^ q^ \\
=& \sum_^ kp \cdot n \cdot \mathrm_^ p^ q^ \\
=& np\sum_^ k \cdot \mathrm_^ p^ q^
\end
但是 \(\mathrm_^ p^ q^\) 前面還有個 \(k\) 啊，不能用啊 (ノ｀д)ノ
所以，怎麼把這個 \(k\) 搞掉呢？？？(我認為這是最難的一步，讀者可以停下來思考思考)
你肯定想用 \((k-1) \mathrm_^ = (n-1) \mathrm_^\)，但人家是 \(k\mathrm_^\) 不是 \((k-1) \mathrm_^\) 啊
那就……把 \(k\) 拆成 \((k-1+1)\) 吧！(我真是太機智了)
\[\begin
& \color^ k \cdot \mathrm_^ p^ q^} \\
=& np\sum_^ (k-1+1) \cdot \mathrm_^ p^ q^ \\
=& np\sum_^ \left[(k-1) \mathrm_^ p^ q^ + \mathrm_^ p^ q^\right] \\
=& np \left[\sum_^ (k-1) \mathrm_^ p^ q^ + \sum_^n \mathrm_^ p^ q^\right] \\
=& np \left[\sum_^ (n-1)p \cdot \mathrm_^ p^ q^ + (p+q)^\right] \\
=& np \left[(n-1)p \cdot \sum_^ \mathrm_^ p^ q^ + 1\right] \\
=& np \left[(n-1)p \cdot (p+q)^ + 1\right] \\
=& np \left[(n-1)p + 1\right] \\
=& np(np-p+1)
\end
終於！三個部分都推完了！！
\[\begin
&d(x) \\
=&\color^ k^ \cdot \mathrm_^ p^ q^} \\
& -2np \color^ k \cdot \mathrm_^ p^ q^} \\
& +n^2 p^2 \color^ \mathrm_^ p^ q^} \\
=& np(np-p+1) -2np\cdot np +n^2p^2 \\
=& np(1-p)
\end
證畢(￣︶￣)↗
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