二項分布的期望值 e(n)=np，這個公式是如何推導來的呢？
n表示n次試驗，p表示單次試驗的成功概率。
e(n)表示n次試驗的成功次數的數學期望。
這裡還需要依賴乙個求數學期望的公式，
所有概率相加=1。
所有概率相加=1，即
∑k=0,n
c(n,k) *
p^k * (1-p)^(n-k) = 1
對於試驗n次的情況，有n+1種結果，0次成功係數為0，所以k=1開始即可。
∑k=0,n k * p(k) =
∑k=1,n k * p(k)
e(n)=np這個公式是如何推導來的呢？
首選要知道所有的可能性，例如n次試驗，可能成功0次，1次，2次，。。。n次。即有n+1種可能。
假設做6次試驗，0表示成功，1表是失敗。
可能性如下：
000000
100000
010000
001000
000100
000010
000001
......
成功0次的可能性有1種，成功1次的可能性有6種，這是n選k的問題。
n次試驗，成功k次的可能性有多少種=c(n,k)=n! / (k!(n-k)!)
n次試驗，成功k次的概率=
c(n,k) *
p^k * (1-p)^(n-k)
所有概率相加=1，即
∑k=0,n
c(n,k) *
p^k * (1-p)^(n-k) = 1
數學期望e(n)，表示做n次試驗，最可能成功多少次：
將成功次數乘以對應的概率，求相加即可得到它的數學期望。
∑k=1,n k * c(n,k)
* p^k * (1-p)^(n-k) =
∑k=1,n k * (
n! / (k!(n-k)!))
* p^k * (1-p)^(n-k) =
∑k=1,n k * (
n! / (k(k-1)!(n-k)!))
* p^k * (1-p)^(n-k) =
∑k=1,n (
n! / ((k-1)!(n-k)!))
* p^k * (1-p)^(n-k)
= ∑k=1,n (
n(n-1)! / ((k-1)!(n-k)!))
* p *
p^(k-1) * (1-p)^(n-k) =
np∑k=1,n (
(n-1)! / ((k-1)!(n-k)!))
p^(k-1) * (1-p)^(n-k)
對n-1,k-1進行換元：
a=k-1
b=n-1
n-k = (a+1) - (b+1) = b-a
求和的下標k=1怎麼換呢？k=1時，根據a=k-1，得出當k=1時a=0。
求和式中，當k=n時，a = k-1 = n-1
而換元中b=n-1，所以n-1=b
換元後， =
np∑a=0,b (
(b)! / ((a)!(b-a)!))
* p^(a) * (1-p)^(b-a)
注意這個求和表示式
∑a=0,b (
(b)! / ((a)!(b-a)!))
* p^(a) * (1-p)^(b-a)
其實就是二項式的所有可能的概率之和，必然等於1.
∑k=0,n
c(n,k) *
p^k * (1-p)^(n-k) = 1
因此最後推導出來
二項分布的期望值 e(n)=np*1=np
[參考]
1. 可汗學院公開課：統計學24-二項分布的期望值
二項分布期望方差證明
w hk 選手啥都不會了。記錄一下。若 x b n,p 有 e x np,d x np 1 p 期望 e x np 直接代入化簡，很簡單，書上也給出了證明。方差還是太菜了。還是非常暴力的展開，拆成兩部分即可。begin d x e x 2 e 2 x sum limits nk 2p k 1 p n...
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前置技能 從組合數公式可以直接推出 k mathrm n k n mathrm 同樣地，你可以得到 k 1 mathrm n 1 mathrm 禁止套娃 你還要熟悉二項式定理 p q n sum n mathrm n k p k q 你還要知道二項分布的概率和期望公式 若 x sim b n,p 則...
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驚奇的發現選修2 3上有期望的介紹，不過我沒有課本啊qwq。只能去網上找資料了。這兩節我感覺比較有意思，就記一下吧 名字真高大上 超幾何分布 hypergeometric distribution 是統計學上一種離散概率分布。它描述了由有限個物件中抽出 n 個物件，成功抽出指定種類的物件的個數 不歸...