極值的概念
函式 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 處取得極小值，是指當 \(x\) 在 \(x_0\) 點及其附近 \(|x - x_0| < \varepsilon\) 時，恒有
\(f(x) \ge f(x_0)\)
若有\(f(x) \leq f(x_0)\)
則稱函式 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 點取極大值。
函式 \(f(x)\) 在點 \(x_0\) 處取得極值的必要條件是在該點處的導數為 0，即
\(f'(x) = 0\)
泛函的極值必要條件
仿照函式極值必要條件的到處方法，得到泛函取得極值的必要條件。 首先，設所考慮的變數函式均通過固定的兩個端點：
\(y(x_0) = a, \qquad y(x_1) = 0\)
即\(\delta y(x_0) = 0, \qquad \delta y(x_1) = 0\)
考慮泛函的差值
\[j[y + \delta y] - j[y] = \int^_ [ f(x, y + \delta y, y' + (\delta y)') - f(x, y, y')] dx
當函式的變分 \(\delta y\) 足夠小時，可將上式進行泰勒展開，有
\[\begin
j[y + \delta y] - j[y] &= \int^_ \left\ + (\delta y)' \frac]f + \frac [\delta y \frac + (\delta y)' \frac]^2 f + \cdots \right\} dx\\
&= \delta j[y] + \frac \delta^2 j[y] + \cdots
\end
其中，\[\delta j[y] \equiv \int^_ [\frac \delta y + \frac(\delta y)']dx
是泛函 \(j[y]\) 的一級變分。
泛函 \(j[y]\) 取極小值的必要條件是泛函的一級變分為 0，即：
\[\delta j[y] \equiv \int^_ [\frac \delta y + \frac(\delta y)']dx = 0
將上式積分中的第二項分部積分，同時代入邊界條件，有
\[\begin
\delta j[y] &= \frac \delta y|^_ + \int^_ [\frac \delta y - \frac\frac\delta y]dx \\
&= \int^_ [\frac - \frac\frac] \delta y dx = 0
\end
由於 \(\delta y\) 的任意性，可以得到
\[\frac - \frac\frac = 0
這個方程為 euler-lagrange 方程，它是泛函 \(j[y]\) 取得極小值的必要條件的微分形式。
數學知識補充
泰勒展開
分部積分
泛函分析 1
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