泛函分析重點定理

泛函分析重點定理

$hahn-banach$泛函延拓定理：

設$x$是實線性空間，$p(x)$是$x$上次線性泛函，若$f$是$x$的子空間$z$上的實線性泛函，且被$p(x)$控制，即滿足$f(x)\le p(x),x\in z$，則存在$x$上的實線性泛函$\overline$，使得當$x\in z$時，有$\overline(x)=f(x)$，並且在整個空間$x$上仍被$p(x)$控制，$\overline(x)\le p(x),x\in x$

一致有界性定理（共鳴定理）：

設$x$為巴拿赫空間，$y$是賦範空間，$\beta (x\to y)$表示$x$到$y$中的有界線性運算元全體，

$_}\in \beta (x\to y),n=1,2,\cdots $，若對每個$x\in x$，$\_}x \right\|\}$有界，即$\left\| _}x \right\|\le _},n=1,2,\cdots $，這裡$_}$是一與$x$有關的實數，那麼，$\_}\}$一致有界，即存在與$x$無關的實數$c$，使得對一切正整數$n$，有$\left\| _} \right\|\le c$

開映照定理：

設$x$和$y$都是巴拿赫空間，若$a:x\to y$是乙個滿射的連續線性運算元，那麼$a$就是乙個開對映。（或者$a\in l(x,y)$是乙個滿射）

壓縮對映原理

設$x$是完備度量空間，$t$是$x$上的壓縮對映，那麼$t$有且只有乙個不動點（就是說，方程

$tx=x$，有且只有乙個解）

極小化向量定理：

設$x$是內積空間，$m$是$x$中非空凸集，並且按$x$中由內積匯出的距離完備，那麼對每個

$x\in x$，存在唯一的$y\in m$，使得$\left\| x-y \right\|=d(x,m)$

裡斯定理：

設$x$是希爾伯特空間，$f$是$x$上連續線性泛函，那麼存在唯一的$z\in x$，使得對每個$x\in x$，有$f(x)=$並且$\left\| f \right\|=\left\| z \right\|$

里斯表示定理：

$c[a,b]$上每乙個連續線性泛函$f$都可以表示成為$f(f)=\int_^$

其中$g(t)$是$[a,b]$上有界變差函式，並且$\left\| f \right\|=\underset}}\,(g)$

貝爾剛定理：

若$x$是非空的完備度量空間，則$x$是第二綱集

逆運算元定理：

設$x$和$y$都是巴拿赫空間，如果$t$是從$x$到$y$的一對一有界線性運算元，那$t$的逆運算元$^}$也是有界線性運算元

閉影象定理：

設$x$和$y$都是巴拿赫空間，$t$是$d(t)\subset x$到$y$中閉線性運算元，如果$d(t)$是閉的，則$t$是有界運算元

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泛函分析 1

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