1 (15 分) 設 $\mathcal$ 是 hilbert 空間, $l$ 為 $\mathcal$ 上的一實值線性有界泛函, $c$ 是 $\mathcal$ 中一閉凸子集, \[ f(v)=\frac||v||^2-l(v)\quad(\forall\ v\in c). \] 求證:
(1) 對任意 $\mathcal$ 上線性有界泛函 $g$, $\exists\ u_0\in \mathcal$, 使得 $f(u_0)=g(u_0)$;
(2)$\exists\ u_1\in c$, 使得 \[ f(u_2)=\inf_f(v); \]
(3)討論 $g,\ u_0,\ u_1$ 之間的關係.
2(15 分) 設 $\mathcal$ 是 hilbert 空間, $t:\mathcal\to \mathcal$ 是線性運算元且滿足 \[ (tx,y)=(x,ty)\quad (\forall\ x,y\in \mathcal). \] 求證:
(1)$t\in \mathcal(\mathcal)$;
(2)$t^*=t$, 此時稱 $t$ 為自共軛運算元;
(3)若 $\overline=\mathcal$, 則對 $\forall\ y\in r(a)$, 方程 \[ ax=y \] 存在唯一解.
3(15 分) 證明:
(1)若 $p\leq q$, 則 $l^p\subset l^q$;
(2)$l^\infty$ 不可分;
(3)$l^1$ 不自反.
4(10 分) 設 $\varphi\in c[0,1]$, $t:\ l^2[0,1]\to l^2[0,1]$ 是由 \[ (tf)(x)=\varphi(x)\int_0^1\varphi(t)f(t)\ dt\quad(\forall\ f\in l^2[0,1]) \] 給出的線性運算元. 求證:
(1)$t$ 是自共軛運算元 (定義見題2);
(2)$\exists\ \lambda\geq 0$, 使得 $t^2=\lambda t$, 由此求出 $t$ 的譜半徑 $r_\sigma(t)$.
5(10 分) 設 $\mathcal$ 是自反的 banach 空間, $a\subset \mathcal$. 證明:
(1)$a$ 弱列緊的充分必要條件是 $a$ 有界;
(2) 若 $a$ 弱列緊的, 則 $a$ 的凸包 \[ co (a) =\left\^n\lambda_ix_i;\ \sum_^n \lambda_i=1,\ \lambda_i\geq 0,\ x_i\in a,\ i=1,2,\cdots, n,\ n\in \mathbb \right\} \] 也是弱列緊的.
6(10 分) 證明:
(1)在 hilbert 空間 $\mathcal$ 中, $x_n\to x_0$ 的充分必要條件是 \[ ||x_n||\to ||x_0||,\quad x_n\rightharpoonup x_0; \]
(2)在 $l^2[0,1]$ 中, $f_n\to f$ 的充分必要條件是 \[ f_n\rightharpoonup f,\quad f_n^2\stackrel f^2. \]
7(8 分) 設 $\mathcal$ 是 hilbert 空間, $\mathcal_0$ 是 $\mathcal$ 的閉線性子空間, $f_0$ 是 $\mathcal_0$ 上的線性有界泛函. 證明: $\exists\ \mathcal$ 上的線性有界泛函 $f$, 使得 \[ f(x)=f_0(x)\quad(\forall\ x\in \mathcal_0), \] \[ ||f||=||f_0||. \]
8(8 分) 設 $\mathcal,\ \mathcal$ 是 banach 空間, $t$ 是 $\mathcal$ 到 $\mathcal$ 的線性運算元, 又設對 $\forall\ g\in \mathcal^*$, $g(tx)$ 是 $\mathcal$ 上的線性有界泛函, 求證: $t$ 是連續的.
9(9 分) 設 $c[a,b]$ 是連續函式空間, 賦以最大值範數 \[ ||x||_\infty =\sup_ |x(t)|\quad (\forall\ x\in c[a,b]). \] 設 $\\subset c[a,b]$ $x\in c[a,b]$. 求證: $x_n\rightharpoonup x$ 的充分必要條件是 \[ \lim_x_n(t)=x(t),\quad \forall\ t\in [a,b]\cap \mathbb, \] 且 \[ \sup_||x_n||_\infty<\infty. \]
應老師要求, 出了乙份泛函分析期末試卷, 主要針對張恭慶泛函分析第二章. 自己寫完後也感覺太難了. 不過還是保留了做個紀念. 下次修改後再發終結版.
家裡蹲大學數學雜誌 第037期泛函分析期末試題
1 10 分 設 mathcal 是 banach 空間,f 是 mathcal 上的線性泛函.求證 f in mathcal mathcal 的充分必要條件是 n f f x 0 是 mathcal 的閉線性子空間.證明 參見書 p 82 t 2.1.7 3 2 10 分 設 mathcal 是 ...
家裡蹲大學數學雜誌 第237期Euler公式的美
1 euler 公式 e 1 0 1 它把 b.i 虛數單位 sqrt 復變 d.1 自然數的單位 道生一,一生二,二生三,三生萬物 老子關於萬物的起源 e.0 人類最偉大的發現之一 可以考慮平衡,欠費等問題了 這些數學中最重要的一些常數聯絡了起來.2 它把現代數學的三大分支 a.分析 analys...
家裡蹲大學數學雜誌 第410期定積分難題
1.1 設 x geq 0 n 為自然數,證明 bex x n geq n x 1 1 eex 2 forall n 求證 bex int 0 x n rd x 2 eex 3 設正數列 sed 滿足 bex vlm int 0 x n rd x 2.eex 求證 dpsa n 1 2.設 f in...