首先了解「泛函式」概念：
通常的函式在
r或c（
n是自然數）中的集合上定義。泛函式常在
函式空間甚至抽象空間中的集合上定義，對集合中每個元素取對應值（實數或
複數）。通俗地說，泛函式是以函式作為變元的函式。泛函式概念的產生與變分學問題的研究發展有密切關係。
傳統上，
泛函通常是指一種
定義域為函式，而值域為實數的「函式」。換句話說，就是從函式組成的乙個
向量空間到
實數的乙個
對映。也就是說它的輸入為函式，而輸出為實數。泛函的應用可以追溯到
變分法，那裡通常需要尋找乙個函式用來最小化某個特定泛函。在物理學上，尋找某個能量泛函的最小系統狀態是泛函的乙個重要應用。
變分法：
變分法的關鍵定理是尤拉－拉格朗日方程。它對應於泛函的
臨界點。在尋找函式的極大和極小值時，在乙個解附近的微小變化的分析給出一階的乙個近似。它分辨不出找到的是最大值還是最小值（或者兩者都不是）。
變分法在
理論物理中非常重要：在
拉格朗日力學中，以及在
最小作用量原理在
量子力學的應用中。變分法提供了
有限元方法的數學基礎，它是求解邊界值問題的強力工具。它們也在材料學中研究材料平衡中大量使用。而在純數學中的例子有，
黎曼在調和函式中使用狄力克雷原理。
最優控制的理論是變分法的乙個推廣。
同樣的材料可以出現在不同的標題中，例如
希爾伯特空間技術，摩爾斯理論，或者
辛幾何。
變分一詞用於所有極值泛函問題。微分幾何中的
測地線的研究是很顯然的變分性質的領域。
極小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，稱為plateau問題。
尤拉-拉格朗日方程：
尤拉-拉格朗日方程 (euler-lagrange equation) 簡稱e-l方程，在力學中則往往稱為拉格朗日方程。正如上面所說，變分法的關鍵定理是尤拉－拉格朗日方程。它對應於泛函的
臨界點。
值得指出的是，e-l方程只是泛函有極值的
必要條件，並不是充分條件。就是說，當泛函有極值時，e-l方程成立。在應用中，外界給定的條件可以使得e-l方程在大多數情況下滿足我們的需求。所以儘管下面我們要在比較強的條件下推導，並且這種推導在某些意義上有些不太嚴謹，完全可以在較弱的情況下予以完全嚴謹的證明，但是就我們所要用的層面而言，也是足夠的了。
泛函與變分
1 求泛函的極大值和極小值問題稱為變分問題，求泛函極值的方法稱為變分法。2 泛函的定義 1 如果對於乙個函式x t 有乙個j值與之對應，則變數j稱為依賴於函式x t 的泛函式，即泛函，記作 j j x t 泛函為標量，其值由函式的選取而定。3 泛函的變分 若連續泛函j x t 的增量可以表示為 j ...
work 如何理解泛函以及變分
這個函式，比如最簡單的y x 2，有乙個特點，就是它的輸入和輸出都是數值。而現在有這樣一類問題，它的自變數本身就是乙個函式。舉個簡單的栗子 有乙個曲面滑梯，寶寶把乙個小玻璃球放在滑梯頂端讓它沿著曲面滑下來。用的時間假設是t1。又有另外乙個曲面，高度和第乙個滑梯一樣，但就是曲面形狀不太一樣，小玻璃球滑...
理解泛函的概念和能量泛函的梯度下降流
1.泛函的概念 函式y f x 是乙個變數x r到y r的乙個對映，而泛函是表示乙個空間集合u rn 到r的對映。說起來比較抽象，以乙個例子說明 可以想象乙個三維空間內有無數條不同的曲線，這些曲線組成了空間集合u，每一條曲線表示該集合u的乙個元素 u類似於函式中的x變數，具體一條曲線對應x變數的某個...