這個函式，比如最簡單的y=x^2，有乙個特點，就是它的輸入和輸出都是數值。
而現在有這樣一類問題，它的自變數本身就是乙個函式。舉個簡單的栗子：
有乙個曲面滑梯，寶寶把乙個小玻璃球放在滑梯頂端讓它沿著曲面滑下來。用的時間假設是t1。又有另外乙個曲面，高度和第乙個滑梯一樣，但就是曲面形狀不太一樣，小玻璃球滑下來用的時間我們假設它是t2。那好奇寶寶就要問了，什麼形狀的滑梯，能讓小玻璃球從這個高度滑下來用的時間最短呢?
onenote 畫的實在有點醜……大家領會精神
在這個問題裡，滑梯的形狀可以用乙個函式y=y(x)來表示，每乙個滑梯都對應了乙個小玻璃球滑下來的時間。其實這就定義了乙個泛函，剛才的問題就是各種泛函分析書裡面的最速降線問題。通俗的說，函式就是你輸入乙個數值，返回乙個數值。泛函就是你輸入乙個函式，返回乙個數值。還用剛才的圖，對比一下：
雖然描述泛函有很多種方式，只要是給出乙個函式返回乙個數值都叫泛函，但我們一般還是習慣用積分的形式描述泛函。
理解了什麼是泛函，再來看看什麼是變分：
首先來看什麼是函式的微分。我們可以這樣去理解：當輸入的自變數x發生變化的時候，對應函式值的變化，就是函式的微分。泛函裡面，自變數不再是乙個數值，自變數變成了乙個函式，那麼泛函的變分就定義為，當輸入的自變函式y發生變化的時候，對應泛函的值的變化。列表如下：
把泛函的變分和函式的微分並列的寫在一起，事情就變得直觀了許多。
**裡寫出的泛函記法，就是上面說到的用積分的方式描述泛函的記法。x頭上哪乙個點代表x對時間t求導。說明這個泛函是關於自變函式x和x導數的泛函。直觀上可以理解成是關於質點位移和速度的泛函。
至於泛函的變分能幹什麼用呢？其實我答這道題就是因為我想清楚了虛功原理，最小勢能原理和ritz法，galkin法的區別和本質。
變分能做的事情多著呢，不妨移步我這一篇回答：力學領域有哪些黑科技？ - 畢紹洋的回答
這幾天剛學完具體如何用變分法求解板的問題，有時間找個相關的問題寫下我的理解~
泛函與變分
1 求泛函的極大值和極小值問題稱為變分問題，求泛函極值的方法稱為變分法。2 泛函的定義 1 如果對於乙個函式x t 有乙個j值與之對應，則變數j稱為依賴於函式x t 的泛函式，即泛函，記作 j j x t 泛函為標量，其值由函式的選取而定。3 泛函的變分 若連續泛函j x t 的增量可以表示為 j ...
實變函式與泛函分析課本pdf 實變函式與泛函分析
內容概要 本書是為大學非基礎數學專業 實變函式與泛函分析 課程編寫的教材。它的先修課程是數學分析或物理類的高等數學。全書共分6章，內容包括 集合，歐氏空間，lebesgtle測度，lebesgue可測函式，lebesgue積分，測度空間，測度空間上的可測函式和積分，lp空間，l2空間，卷積與four...
理解泛函的概念和能量泛函的梯度下降流
1.泛函的概念 函式y f x 是乙個變數x r到y r的乙個對映，而泛函是表示乙個空間集合u rn 到r的對映。說起來比較抽象，以乙個例子說明 可以想象乙個三維空間內有無數條不同的曲線，這些曲線組成了空間集合u，每一條曲線表示該集合u的乙個元素 u類似於函式中的x變數，具體一條曲線對應x變數的某個...