高等數學中學過的函式關係 y = f(x) 是從實數集 r (或其子集)到 r 中的一種對應關係， 這個概念可以推廣到一般集合上。
定義1.1：設a, b是兩個非空集合，若存在乙個對應關係 f 使得對∀x ∈ a，存在唯一的乙個y ∈ b 與之對應，則f稱為 a 到 b 的對映，記為 f : a → b 。y 稱為 x 在對映 f 下的像， 記為 y = f(x) 或 y = fx 。a 稱為對映 f 的定義域，記為 d(f) ，像的集合 f(a) =稱為 f 的值域，記為 r(f) 。
對映 f : a → b ,當 b 為數集時， f 通常稱為泛函；當 a, b 皆為數集時，
f 稱為函式。
有了上面的基本定義，下面我們來討論單射、滿射、雙射。
單射：
定義1.2：對 ∀x1, x2 ∈ a，若 x1 , x2 ，恒有 f(x1) , f(x2) ，即對 ∀y ∈ r(f) ，存在唯一的乙個 x ∈ a 使得 f(x) = y，則 f 稱為單射。
滿射：
定義1.3：設對映 f : a → b, 若 r(f) = b，則 f 稱為滿射。也即b中每乙個元素都有a中元素與之對應。
雙射：
既滿足單射也滿足雙射
我們對於有限可數集合中元素的計算有很好的概念，但是對於無限集合呢？下面我將引入無限集合中元素的多少及分類方法。
定義2.1.1：設 a, b 是兩個集合，若存在乙個雙射f : a → b ，則稱 a 與 b 是對等的，記為 a ∼ b 。若 a 與 b 是對等的， 則稱 a 與 b 有相同的基數。
對於有限集 a, b 而言，a ∼ b 等價於它們元素的個數是相同的。如 與 是對等的。 對於無限集，對等的概念為集合的分類提供了一種有效的方法。
對於無限集，可分為兩大類，可數集與不可數集。
定義2.2.1：設 a 是乙個非空集，如果 a 與自然數集 n 對等, 則集合 a 稱為可數集或可列集。
也就是說，集合a中的元素和自然數集中的元素對等，比如與自然數集對等，則是可數集。有限集和可數集統稱為至多可數集。
若集合不是至多可數集則就是不可數集。也可以說，與實數r或者（0，1）存在對等，則是不可數集合。
通俗來講，就是可數集可以乙個乙個按著順序的數出來，而不可數集不能乙個乙個數出來。比如（0，1）區間內可以說有無數個元素，並不能乙個乙個數出來。
定義2.3.1：設 e ⊂ r 是乙個非空集，
如果存在乙個實數 b ∈ r ， 使得對 ∀x ∈ e 皆有 x ≤ b ， 則稱 b 為 e 的乙個上界；集 e 稱為上有界集。
如果存在乙個實數 a ∈ r ， 使得對 ∀x ∈ e 皆有 x ≥ a ，則稱 a 為 e 的乙個下界；集 e 稱為下有界集。
很顯然，若 e 有乙個上(下)界，則必有無數個上(下)界。 那麼對 e 而言，是否存在最小上界和最大下界？下面對於一般實數集的最小上界和最大下界給出乙個確切定義。
定義2.3.2：
設 e 是乙個上有界集，若存在乙個數 µ ∈ r 滿足下列兩個條件：
·對 ∀x ∈ e ，皆有 x ≤ µ ；
·對 ∀ε > 0 , 都有乙個 x0 ∈ e ，使得 x0 > µ − ε 。
（這兩句話的意思是：上確界減去乙個極小的數ε後，就不是上確界了。因為他不再大於x0，下確界同理）
則稱 µ 為 e 的上確界， 記為 µ = sup e ，或 µ = sup 。
設 e 是乙個下有界集，若存在乙個數 γ ∈ r 滿足下列兩個條件：
·對 ∀x ∈ e ，皆有 x ≥ γ ；
·對 ∀ε > 0 , 都有乙個 x0 ∈ e ，使得 x0 < γ + ε 。
則稱 γ 為 e 的下確界， 記為 γ = inf e ，或 γ = inf 。
下面引出確界存在原理：
(確界存在原理)任何非空有上界的實數集必有上確界；任何非空有下界的
實數集必有下確界。
確界存在原理有什麼用呢？
高等數學中的定理：單調有界數列必有極限。就是用確界存在原理證明的。下面給出證明：
證明我們不妨假定數列是單調增加，且上有界。
設 是單調有上界數列，x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ · · · ≤ xn ≤ xn+1 ≤ · · · < m.
由確界存在原理， 必有上確界 sup ，記為 µ 。
於是對 ∀ε > 0 ，由上確界定義知，存在至少乙個 xn ∈ , 使得：
µ − ε < xn ≤ µ
由於 是單調增加的，故當 n > n 時，
有µ − ε < xn ≤ xn ≤ µ < µ + ε
即 |xn − µ| < ε ，依極限的定義有 limn→∞xn = µ 。
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