開學已經是第二週了，我的《微分幾何》也上課兩周了，進度比較慢，現在才講到平面曲線的曲率。在平面曲線$\boldsymbol(t)=(x(t),y(t))$某點上可以找出單位切向量。
$$\boldsymbol=\left(\frac,\frac\right)$$
其中$ds^2 =dx^2+dy^2$，將這個向量逆時針旋轉90度之後，就可以定義相應的單位法向量$\boldsymbol$，即$\boldsymbol\cdot\boldsymbol=0$。
常規寫法
讓我們用弧長$s$作為引數來描述曲線方程，$\boldsymbol(s)=(x(s),y(s))$，函式上的一點表示對$s$求導。那麼我們來考慮$\dot}$，由於$\boldsymbol^2=1$，對s求導得到
$$\boldsymbol\cdot\dot}=0$$
也就是說$\dot}$與$\boldsymbol$垂直，由於只是在平面上，所以$\dot}$與$\boldsymbol$平行。即
類似地，有$\dot}$與$\boldsymbol$平行。並且對$\boldsymbol\cdot\boldsymbol=0$求導得到
$$\dot}\cdot\boldsymbol+\boldsymbol\cdot\dot}=0$$
複數表示
以上是教科書的標準寫法，但事實上，研究平面曲線的最方便的工具還是複數。將$\boldsymbol(s)$用乙個帶引數的複數表示$z(s)$，那麼上面的兩式可以寫成更簡潔的乙個式子
這是簡潔而有效的。
另外，不妨設$dz=ds e^$，那麼
$$\dot=e^$$
自然地$$\ddot=e^\left(i\dot\right)$$
所以曲率可以表示為
各種座標
利用它可以很方便地推導出各種座標系下的曲率表示式，如曲線為一般的引數方程$(x(t),y(t))$時，用函式加一撇表示對t求導，有$ds=\sqrtdt,\phi=\arctan\left(\frac\right)$，那麼
$$\frac=\frac-\frac}\right)^2}\div \left(\frac\right)$$
代入整理易得
在極座標下，設$r=f(\theta)$，則$z=f(\theta)e^$，那麼
$$dz=\left(\frac+i f\right)e^d\theta$$
所以$$ds=\sqrt\right)^2}d\theta$$
而$\phi=\arctan\frac\right)}+\theta$，那麼
$$\frac=\left[\frac\right) f/\left(\frac\right)^2}\right)^2}+1\right]\div \left(\frac\right)$$
代入整理得
三維空間有沒有類似方便的東西呢？我也正在思考^_^
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蘇劍林. (2014, mar 04). 《平面曲線的曲率的複數表示 》[blog post]. retrieved from
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