各類曲線的引數方程常見曲線的引數方程

前言

總結梳理常見曲線的引數方程；其中拋物線和雙曲線的引數方程不要求掌握；

引數方程

一般地，在平面直角座標系中，如果曲線\(c\)上任意一點\(p\)的座標\(x\)、\(y\)都是某個變數\(t\)的函式：

\[\left\\\\end\right.

並且對於\(t\)的每乙個允許的取值，由方程組確定的點\((x, y)\)都在這條曲線\(c\)上，那麼這個方程就叫做曲線的引數方程，聯絡變數\(x\)、\(y\)的變數\(t\)叫做參變數，簡稱引數。相對而言，直接給出點座標間關係的方程叫普通方程。

例如在運動學，引數通常是「時間」，而方程的結果是速度、位置等。用引數方程描述運動規律時，常常比用普通方程更為直接簡便。對於解決求最大射程、最大高度、飛行時間或軌跡等一系列問題都比較理想。有些重要但較複雜的曲線[例如擺線]，建立它們的普通方程比較困難，甚至不可能，有了引數方程，就可以很容易表達。

直線引數方程

直線的引數方程的形式不唯一，當選定的引數不一樣時，引數方程的形式也就不一樣了。

[方式1]：已知直線所過的定點\((x_0，y_0)\)和傾斜角\(\theta\)，則以定點到動點\((x，y)\)的有向線段的位移為引數，可知

直線的引數方程為\(\left\\\\end\right.\)

[方式2]：以定比分點為引數

[方式3]：以曲線\(m\)上的點與點\(o\)連線的斜率為引數，

以座標原點\(o\)為極點，\(x\)軸的正半軸為極軸建立極座標系，已知曲線\(c\)的極座標方程為\(\rho=4cos\theta\)，曲線\(m\)的直角座標方程為\(x-2y+2=0(x>0)\)，以曲線\(m\)上的點與點\(o\)連線的斜率為引數，寫出曲線\(m\)的引數方程；

分析：由\(\left\\\\end\right.\)

解方程，消去\(y\)，解得\(x=\cfrac\)，代入②得到，\(y=\cfrac\)，由\(x=\cfrac>0\)，得到\(k>\cfrac\)

故曲線\(m\)的引數方程為\(\left\}\\}\end\right.\) (\(k\)為引數，\(k>\cfrac\))

圓引數方程

圓\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)的引數方程為\(\left\\\\end\right.\quad\) (\(\theta\)為引數)

橢圓引數方程

橢圓\(\cfrac+\cfrac=1\)的的引數方程為\(\left\\\\end\right.\quad\) (\(\theta\)為引數)

拋物線引數方程

拋物線\(y^2=4x\)的引數方程為\(\left\\\\end\right.\quad\) (\(t\)為引數)

雙曲線引數方程

雙曲線\(\cfrac-\cfrac=1\)的的引數方程為\(\left\\\\end\right.\quad\) (\(\theta\)為引數)

各類曲線的引數方程 常見曲線的引數方程