下午打算計算驗證一下迴旋曲線公式，想偷個懶從網上down個**對比驗證，但未檢索到現成**。關於迴旋曲線離散點（x,y）的計算分析眾多，但介紹並不詳細，甚至公式和計算方法也都不同。為不枉費半天的查詢、驗證工作，也為方便同仁參考，本文介紹基礎的迴旋線計算過程及**，本次計算未涉及座標變換。
本部分可忽略不看，直接看第二部分『』迴旋線的計算『』。迴旋線的計算主要依照以下公式進行，主要在於清晰公式中的變數定義。
迴旋曲線上任意點座標計算公式：
式中，a就是曲率變化率，它可能是正數，也可能是負數。a的定義為：
a與a的關係滿足公式
為了說明a的符號，以及它與a的關係，請見下圖
在數學座標系下k0+000處的曲率為1/100(左轉為正)，k0+150處的曲率為-1/50（右轉為負）。可知：
曲率變化率
（注意a為曲率關於迴旋線長度的變化率，及第一節中的dk/dl）。實際上，迴旋線的線長l為設計值，在建立一條迴旋線的時候手動設定。
根據公式，假定我們現在需要一條迴旋線，（1）起點位置的曲率為0，（2）終點位置的曲率為 1/rmin，rmin為終點位置的曲率半徑，（3）迴旋線的長度為2m。
則， a = （0 - （1/rmin）） / 2;
此時將a，l帶入公式得到是迴旋線最後乙個點的x，y值。如何得到整條迴旋線的x，y值呢？根據計算任意點的公式，我們將迴旋線長度l離散化。0~l之間均勻取若干個值，a不變，帶入計算公式即可得近似整條迴旋線的x，y值。
在matlab中實現的具體計算過程：
main.m
%% 呼叫 clothoid函式，並將終點位置的曲率半徑設定為 0.1:0.2:3
for i = 0.1:0.2:3
clothoid(i)
end
%%%% 計算迴旋曲線，並繪圖
function = clothoid(rmin)
n = 100; %%
sk = 2; %% 曲線長
c = 1 / rmin / sk; %% 曲率變化率，即上文中的曲率變化率 a
x = zeros(1,n);
y = zeros(1,n);
for sk_i = sk / n : sk / n : sk
result_x = 0; %% 初始化x座標點的值
result_y = 0; %% 初始化y座標點的值
for i = 0 : n %% 計算x
result_x = result_x + ((-1) ^ i) * (c ^ (2 * i)) * (sk_i ^ (4 * i + 1)) / ((2 ^ (2 * i)) * (4 * i + 1) * fctorial(2 * i));
endx(int32(sk_i / sk * n)) = result_x;
for i = 0 : n %% 計算y
result_y = result_y + ((-1) ^ i) * (c ^ (2 * i + 1)) * (sk_i ^ (4 * i + 3)) / ((2 ^ (2 * i + 1)) * (4 * i + 3) * fctorial(2 * i + 1));
endy(int32(sk_i / sk * n)) = result_y;
endhold on;
plot(-x,-y);
hold on;
plot(-x(end),-y(end),'*'); %%迴旋曲線的最後乙個點
axis equal;
end
%% 階乘函式
function y = fctorial(x)
n = 1;
for i = 1 : x
n = n * i;
endy = n ;
end
各螺旋線的線長相同（2m），曲率變化率不同。
如有幫助，請點贊哦。
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