附錄 向量與張量運算
1標量﹑向量與張量
1.1基本概念
在本書中所涉及的物理量可分為標量、向量和張量。
我們非常熟悉標量，它是在空間沒有取向的物理量，只有乙個數就可以表示其狀態。例如質量、壓強、密度、溫度等都是標量。
向量則是在空間有一定取向的物理量，它既有大小、又有方向。在三維空間中，需要三個數來表示，即向量有三個分量。考慮直角座標右手系，三個座標軸分別以1、2和3表示，、2和3分別表示1、2和3方向的單位向量。如果向量a的三個分量分別為a1、、a2、a3，則可以表示為
也可以用以下符號表示
a=(a1,a2,a3)
向量a的大小以a表示
a=(a12+a22+a32)1/2
我們還會遇到張量的概念，可將標量看作零階張量，向量看作一階張量，在此將主要討論二階張量的定義。
二階張量w有9個分量，用wij表示。張量w可用矩陣的形式來表示：
w其中下標相同的元素稱為對角元素，下標不同的元素稱為非對角元素。若wij=wji，則稱為對稱張量。如果將行和列互相交換就組成張量w的轉置張量，記作wt,則
wt=顯然，若w是對稱張量，則有w=wt。另外，如果wt=-w，w被稱為反對稱張量，同時有wij=-wji。任何乙個二階張量都可以寫成兩部分之和，一部分為對稱張量，另一部分為反對稱張量。
w=(w+wt)+ (w-wt)
單位張量是對角分量皆為1，非對角分量皆為0的張量
是最簡單的對稱張量。
張量對角分量之和稱為張量的跡
trw=
張量的跡是標量，如果張量的跡為零，稱此張量為無跡張量。
1.2基本運算
1.2.1向量加法與乘法運算
在幾何上，向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。如圖附-1所示，減法為加法的逆運算。
圖附-1 向量加減法
在解析上，向量加法(減法)為對應分量之和(差)。
a+b=
向量的加法滿足下列運算規律：
(1)?????????? 交換律 a+b=b+a
(2)?????????? 結合律 (a+b)+c=a+(b+c)
(3)?????????? 零向量的特徵 a+0=0+a=a
(4)?????????? -a的特徵 a+(-a)=(-a)+a=0
一標量與一向量的乘積仍為一向量，其方向不變，只是大小作相應改變。
ca=c
兩個向量點乘，結果為一標量，稱為標量積，定義如下：
=cos
其中為向量a、b的夾角。
單位向量之間的標量積有特別重要的意義，用下式表示
稱為克羅內克(kroneker)符號。
因此，兩向量點乘運算如下：
即兩向量點乘的結果為兩向量對應分量(值)乘積之和。顯然，點乘有交換律：
兩個向量叉乘，結果為一向量，稱為向量積，定義如下：
c=ab
向量c的大小為c=absin，其中為向量a、b的夾角 ，c的方向垂直於a、b兩向量所決定的平面，指向由右手定則確定，如圖附-2所示。因此，向量叉乘不滿**換律，
ab=-(ba)
圖附-2 向量叉乘
單位向量、的向量積在方向上得分量為：
由此引入交錯單位張量(altermating unit tensor)εijk
εijk=
因此，叉乘運算可表示為
利用上述結果，標量三重積的運算如下：
介紹兩個十分有用的關係式
利用上面的運算方法及關係式，可以證明以下幾個常用的向量恒等式：
1.2.2向量的微分運算
向量的微分運算子在直角座標系中定義為
稱為哈密頓算符或那勃拉算符。
應該強調指出，這個算符是乙個混合物，它必須遵守處理向量的規則和偏微分規則這兩者。而且它只作為乙個算符，不能單獨使用，必須作用於乙個標量或向量來運算。哈密頓算符可以直接參加運算，要遵守如下規則：
(1)?????????? 用「」代替「」；
(2)?????????? 進行通常的微分運算；
(3)?????????? 進行向量運算；
(4)?????????? 整理成的形式；
(5)?????????? 用「」代替。
例：試證明
證明：我們還會遇到一種特殊微分2a，稱為 2=為拉普拉斯算符：
算符2作用於向量a
2a=2
即對各分量求導，並作向量加和。
1.2.3三階張量的加法與乘法
首先，引入並矢的概念。由兩個向量a和b組成的並向量是乙個二階張量，其分量是兩向量的分量之積
那麼，對於單位向量e1、e2 、e3，由兩個組成的並向量 則有9個，分別是
利用單位並向量，我們可以將張量寫成如下形式：
1.2.3.1張量的減法
兩個張量相加(減)，前提必須是階數相同的張量，其和(差)仍為一張量，該張量的分量為兩張量對應分量
單位張量叉乘 附錄向量與張量運算
附錄 向量與張量運算 標量 向量與張量 1.1基本概念 在本書中所涉及的物理量可分為標量 向量和張量。我們非常熟悉標量，它是在空間沒有取向的物理量，只有乙個數就可以表示其狀態。例如質量 壓強 密度 溫度等都是 標量。向量則是在空間有一定取向的物理量，它既有大小 又有方向。在三維空間中，需要三個數來表...
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