向量的點乘與叉乘

向量 - 向量叉乘向量點乘

2023年07月28日星期三 14:33

向量（vector）

在幾乎所有的幾何問題中，向量（有時也稱向量）是乙個基本點。向量的定義包含方向和乙個數（長度）。在二維空間中，乙個向量可以用一對x和y來表示。例如由點（1,3）到（5,1的向量可以用(4,-2）來表示。這裡大家要特別注意，我這樣說並不代表向量定義了起點和終點。向量僅僅定義方向和長度。

向量加法

向量也支援各種數**算。最簡單的就是加法。我們可以對兩個向量相加，得到的仍然是乙個向量。我們有：

v1（x1, y1）+v2（x2, y2）=v3(x1+x2, y1+y2)

下圖表示了四個向量相加。注意就像普通的加法一樣,相加的次序對結果沒有影響（滿足交換律），減法也是一樣的。

點乘（dot product）

如果說加法是憑直覺就可以知道的，另外還有一些運算就不是那麼明顯的，比如點乘和叉乘。

點乘比較簡單，是相應元素的乘積的和：

v1( x1, y1) v2(x2, y2) = x1*x2 + y1*y2

注意結果不是乙個向量，而是乙個標量（scalar）。點乘有什麼用呢，我們有：

a b = |a||b|cos(θ)

θ是向量a和向量b見的夾角。這裡|a|我們稱為向量a的模(norm)，也就是a的長度，在二維空間中就是|a| = sqrt(x2+y2)。這樣我們就和容易計算兩條線的夾角：

cos(θ) = a b /(|a||b|)

當然你知道要用一下反余弦函式acos()啦。（回憶一下cos(90)=0 和cos(0) = 1還是有好處的，希望你沒有忘記。）這可以告訴我們如果點乘的結果，簡稱點積，為0的話就表示這兩個向量垂直。當兩向量平行時，點積有最大值

另外，點乘運算不僅限於2維空間，他可以推廣到任意維空間。（譯註：不少人對量子力學中的高維空間無法理解，其實如果你不要試圖在視覺上想象高維空間，而僅僅把它看成三維空間在數學上的推廣，那麼就好理解了）

叉乘（cross product）

相對於點乘，叉乘可能更有用吧。2維空間中的叉乘是：

v1(x1, y1) x v2(x2, y2) = x1y2 – y1x2

看起來像個標量，事實上叉乘的結果是個向量，方向在z軸上。上述結果是它的模。在二維空間裡，讓我們暫時忽略它的方向，將結果看成乙個向量，那麼這個結果類似於上述的點積，我們有：

a x b = |a||b|sin(θ)

然而角度 θ和上面點乘的角度有一點點不同，他是有正負的，是指從a到b的角度。下圖中 θ為負。

另外還有乙個有用的特徵那就是叉積的絕對值就是a和b為兩邊說形成的平行四邊形的面積。也就是ab所包圍三角形面積的兩倍。在計算面積時，我們要經常用到叉積。

a=(a1,b1,c1)b=(a2,b2,c2)

向量a×向量b=　　| i j k|

|a1 b1 c1|

|a2 b2 c2|　　=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

（譯註：三維及以上的叉乘參看維基：

點-線距離