向量 - 向量叉乘 向量點乘
向量（vector）
在幾乎所有的幾何問題中，向量（有時也稱向量）是乙個基本點。向量的定義包含方向和乙個數（長度）。在二維空間中，乙個向量可以用一對x和y來表示。例如由點（1,3）到（5,1的向量可以用(4,-2）來表示。這裡大家要特別注意，我這樣說並不代表向量定義了起點和終點。向量僅僅定義方向和長度。
向量加法
向量也支援各種數**算。最簡單的就是加法。我們可以對兩個向量相加，得到的仍然是乙個向量。我們有：
v1（x1, y1）+v2（x2, y2）
=v3(x1+x2, y1+y2)
下圖表示了四個向量相加。注意就像普通的加法一樣,相加的次序對結果沒有影響（滿足交換律），減法也是一樣的。
點乘（dot product）
如果說加法是憑直覺就可以知道的，另外還有一些運算就不是那麼明顯的，比如點乘和叉乘。
點乘比較簡單，是相應元素的乘積的和：
v1( x1, y1) v2(x2, y2) = x1*x2 + y1*y2
注意結果不是乙個向量，而是乙個標量（scalar）。點乘有什麼用呢，我們有：
a b = |a||b|cos(θ)
θ是向量a和向量b見的夾角。這裡|a|我們稱為向量a的模(norm)，也就是a的長度， 在二維空間中就是|a| = sqrt(x2+y2)。這樣我們就和容易計算兩條線的夾角：
cos(θ) = a b /(|a||b|)
當然你知道要用一下反余弦函式acos()啦。（回憶一下cos(90)=0 和cos(0) = 1還是有好處的，希望你沒有忘記。）這可以告訴我們如果點乘的結果，簡稱點積，為0的話就表示這兩個向量垂直。當兩向量平行時，點積有最大值
另外，點乘運算不僅限於2維空間，他可以推廣到任意維空間。（譯註：不少人對量子力學中的高維空間無法理解，其實如果你不要試圖在視覺上想象高維空間，而僅僅把它看成三維空間在數學上的推廣，那麼就好理解了）
叉乘（cross product）
相對於點乘，叉乘可能更有用吧。2維空間中的叉乘是：
v1(x1, y1) x v2(x2, y2) = x1y2 – y1x2
看起來像個標量，事實上叉乘的結果是個向量，方向在z軸上。上述結果是它的模。在二維空間裡，讓我們暫時忽略它的方向，將結果看成乙個向量，那麼這個結果類似於上述的點積，我們有：
a x b = |a||b|sin(θ)
然而角度 θ和上面點乘的角度有一點點不同，他是有正負的，是指從a到b的角度。下圖中 θ為負。
另外還有乙個有用的特徵那就是叉積的絕對值就是a和b為兩邊說形成的平行四邊形的面積。也就是ab所包圍三角形面積的兩倍。在計算面積時，我們要經常用到叉積。
（譯註：三維及以上的叉乘參看維基：
點-線距離
找出乙個點和一條線間的距離是經常遇見的幾何問題之一。假設給出三個點，a，b和c，你想找出點c到點a、b定出的直線間距離。第一步是找出a到b的向量ab和a到c的向量ac，現在我們用該兩向量的叉積除以|ab|，這就是我們要找的的距離了（下圖中的紅線）。
d = (ab x ac)/|ab|
當我們要找點到線段的距離時，情況變得稍稍複雜一些。這時線段與點的最短距離可能是點到線段的某一端點，而不是點到直線的垂線。例如上圖中點c到線段ab的最短距離應該是線段bc。我們有集中不同的方法來判斷這種特殊情況。第一種情況是計算點積ab bc來判定兩線段間夾角
//compute the dot product ab bc
int dot(int a, int b, int c)
//compute the cross product ab x ac
int cross(int a, int b, int c)
//compute the distance from a to b
double distance(int a, int b)
//compute the distance from ab to c
//if issegment is true, ab is a segment, not a line.
double linepointdist(int a, int b, int c, boolean issegment)
return abs(dist);
}上面的**看起來似乎是很繁瑣。不過我們可以看看在c++和c#中，採用了運算子過載的類point，用『*』代表點乘，用'^'代表叉乘（當然'+''-'還是你所希望的），那麼看起來就簡單些，**如下：
//compute the distance from ab to c
//if issegment is true, ab is a segment, not a line.
double linepointdist(point a, point b, point c, bool issegment)
return abs(dist);}
向量點乘與叉乘
點乘 dot product 點乘，也叫向量的內積 數量積。顧名思義，求下來的結果是乙個數。向量a 向量b a b cos 在物理學中，已知力與位移求功，實際上就是求向量f與向量s的內積，即要用點乘。將向量用座標表示 三維向量 若向量a a1,b1,c1 向量b a2,b2,c2 則 向量a 向量b...
向量點乘與叉乘
分享一下我老師大神的人工智慧教程！零基礎，通俗易懂！向量 vector 在幾乎所有的幾何問題中，向量 有時也稱向量 是乙個基本點。向量的定義包含方向和乙個數 長度 在二維空間中，乙個向量可以用一對x和y來表示。例如由點 1,3 到 5,1的向量可以用 4,2 來表示。這裡大家要特別注意，我這樣說並不...
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向量 vector 在幾乎所有的幾何問題中，向量 有時也稱向量 是乙個基本點。向量的定義包含方向和乙個數 長度 在二維空間中，乙個向量可以用一對x和y來表示。例如由點 1,3 到 5,1的向量可以用 4,2 來表示。這裡大家要特別注意，我這樣說並不代表向量定義了起點和終點。向量僅僅定義方向和長度。向...