本節就線性空間的基和維數進行分析總結，這一節是考研中容易出現的一部分，雖然概念性比較多，但是容易理解，也是很基礎容易掌握的一部分，所以希望大家掌握本節老師給出的所有定義，定理及其例題.
一. 域f上線性空間的定義及其簡單性質
定義1. 乙個非空集合v，如果它有加法運算(即v×v到v的乙個對映)，其元素與域f的元素之間的純量乘法運算(即f×v到v的乙個對映)，並滿足下述8條運算法則
1.2.
3.v中有乙個元素，記作0，它使得
具有該性質的元素0稱為v的零元；
4.對於
，存在
,使得具有該性質的元素
稱為 v 的零元.
5.其中 1 是 f 的單位元.
6.7.
8.那麼稱v是域f上的乙個線性空間.
從域f上的線性空間v滿足的8條運算法則可以推導出線性空間v的一些簡單性質：
性質1. v中的零元是唯一的.
性質2. v中每個元素
的負元是唯一的.
性質3.
性賈 4.
性質 5.
性質 6.
二.向量集的線性相關與線性無關
命題1. 在域f上的線性空間v中，如果向量組的乙個部分組線性相關，那麼這個向量組線性相關.
命題2. 在域f上的線性空間v中，包含零向量的向量集是線性相關的.
命題3. 在域f上的線性空間v中，元素個數大於1的向量集w線性相關當且僅當w中至少有乙個向量可以由其餘向量中的有限多個線性表出.
命題4. 在域f上的線性空間v中，設非零向量
可以由向量集w線性表出，則表法唯一的充分必要條件為向量集w線性無關.
命題 5. 在域 f 上的線性空間 v 中, 設向量組
線性無關, 則向量
可以由向量
線性表出的充分必要條件為
線性相關.
三.基和維數
定義2.設v是域f上的線性空間，v中的向量集s如果滿足下述兩個條件：
1.向量集s是線性無關的；
2.v中每乙個向量可以由向量集s中有限多個向量線性表出, 那麼稱s是v的乙個基.
定義3. 設v是域f上的線性空間，如果v有乙個基是由有限多個向量組成，那麼稱v是有限維的；如果v有乙個基含有無窮多個向量，那麼稱v是無限維的.
定理1.如果域f上的線性空間v是有限維的，那麼v的任意兩個基所含向量的個數相等.
推論1. 如果域f上的線性空間v是無限維的，那麼v的任意乙個基都含有無窮多個向量.
證明： 假如v有乙個基為
那麼可知v的任意乙個基都含有n個向量，這與v是無限維的線性空間相矛盾.因此v的任意乙個基都含有無窮多個向量.
定義4.設v是域f上的線性空間，如果v是有限維的，那麼把v的乙個基所含向量個數稱為v的維數，記作
如果v是無限維的，那麼記
命題6. 設v是域f上的n維線性空間，則v中任意n+1個向量都線性相關.
命題7. 設v是域f上的n維線性空間，則v中任意n個線性無關的向量都是v的乙個基.
命題8.設v是域f上的n維線性空間，如果v中的每乙個向量都可以由向量組
線性表出，那麼
是 v 的乙個基.
命題9.設v是域f上的n維線性空間，則v中任意乙個線性無關的向量組都可以擴充成v的乙個基.例1.(2003大連理工)設
(1)證明：全體與 a 可交換的矩陣構成實數域上的線性空間，記為 c(a).
(2)求c(a)的維數與基.
證明 ：(1)
任意由於
所以 所以
對任意的
有 所以
又因為矩陣都滿足線性空間的運算律
所以c(a)是r上的線性空間.
(2)設
且ab=ba,可得
故可得為c(a)的一組基，從而
表示 p 上的所有3×3 矩陣的集合，對於矩陣的加法及數乘運算，
是 p 上的線性空間，令
求 v 的基.
解：任取設則
而 b 可由
線性表示，而 c 的對角元滿足
其基礎解系為
故c可由
線性表示，從而v的基為
巖寶同步思考練習
1.(2004 陝西師範大學)設
是 矩陣，其中
(1) 求 det(a).
(2)設
求 w 的維數及一組基.
2.(2003武漢大學)設
(1)求a的秩.
(2)求a的零化子空間n(a)(即滿足ax=0的4維向量組成的子空間)的維數和一組基.
3.(2005武漢大學)設a是元素全為1的n階方陣. (1)求行列式|ae+ba|的值,其中a,b為實常數；
(2) 已知 1< r(ae+ba)< n,試確定a,b所滿足的條件,並求下列線性子空間的維數
4.(2005浙江師範大學)如果齊次線性方程組
的解空間w是3維的，試求a,b的值，並求w的一組基，解空間有可能為2維空間嗎？
向量空間的基和維
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