線性子空間（又稱向量子空間，簡稱子空間）是線性空間中部分向量組成的線性空間。設w是域p上的線性空間v的乙個非空子集合，若對於v中的加法及域p與v的純量乘法構成域p上的乙個線性空間，則稱w為v的線性子空間.
定義 設w是域p上的線性空間v的乙個非空子集合，若對於v中的加法及域p與v的純量乘法構成域p上的乙個線性空間，則稱w為v的線性子空間（或向量子空間），或簡稱子空間。 [2]
注：1.v的非空子集w是子空間的充分必要條件是：
（1）子集合w的任意兩個向量α與β之和α+β仍是w中的向量；
（2）域p的任一數k與子集合w的任意乙個向量α的積kα仍是w中的向量。
3.線性空間v自身與單獨乙個零向量都是v的線性子空間。這兩個特殊的子空間稱為v的平凡子空間；除平凡子空間外的線性子空間稱為v的非平凡子空間。
線性子空間的交一定是線性子空間。令w1與w2是兩個線性子空間，那麼子空間的交可定義為w= w1∩w2=(x|x belong to w1 且 x belong to w2) 。若這些子空間公共的唯一向量為零向量，i.e.w=，則稱子空間w1、w2無交連（disjoint）。
線性子空間的並不一定是線性子空間，直觀的理解為兩個集合的並，不滿足加法的封閉性。只是單純把每個元素累積起來。
exp:l1=（3,1,0,0,0）(0,2,1,0,0) l2=(1,1,2,0,0) (0,2,1,0,0)
則l1∪l2=
線性子空間的和是由各個子空間的一組線性無關的基向量所構成乙個空間，是乙個線性子空間。其定義可為w=(x1+x2|x1 belong to w1 and x2 belong to w2)稱之為w1與w2的和，記為w1+w2。
在子空間的和運算中，滿足交換律與結合律。
交換律： w1+w2=w2+w1；
結合律： (w1+w2)+w3 = w1+(w2+w3)；
引理：同時可以推導出線性空間維數的關係有
dim w1+dim w2 = dim ( w1+w2 ) +dim(w1∩w2)
exp:假設l1=（3,1,0,0,0）(0,2,1,0,0) l2=(1,1,2,0,0) (0,2,1,0,0)
則l1+l2為三維空間，其中子空間的交為一維空間.
求解方法：把所有子空間的組合所構成的矩陣化為標準階梯型即可求出線性無關的基向量.
直和的定義：v的兩個子空間w1與w2，如果對a屬於w1+w2有 a=a1+a2(a1 belong to w1,a2 belong to w2)是唯一的，則稱w1+w2為w1與w2的直和，記w1圈加w2.
由此可以推出，當w1+w2為w1與w2的直和時，則有dim(w1∩w2) = 0；
故：dim w1+dim w2 = dim ( w1+w2 )
設w是線性空間v的乙個線性子空間，那麼存在乙個子空間u,使得
v = w 圈加 u
那麼稱u為w的補子空間。
若u,w為歐式空間v的線性子空間，對於任意的x屬於u與y屬於w，都有
（x，y）=0
則稱u與w正交，記u⊥w.
如果乙個向量x與w的任意乙個向量正交，則稱x與w正交，記x⊥w.
正交空間的交集為0，且正交空間的和為直和。
參考：張祥朝 線性子空間的交、和、直和[0]復旦大學光科學與工程系 2013.5.19
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