高維幾何是泛函研究的主要物件之一，可對何謂高維幾何，筆者沒見到明顯的定義。筆者認為，所謂高維幾何，就是把高維向量空間，同時視為點的集合，研究她的子集的性質和子集之間的關係的學科，就是高維幾何(是否如此，請給予點評)。
那麼點與向量有什麼關係，他們的表示方法有何區別，在以往的泛函分析中沒有明確的概念。一開始用的概念是向量，但當提到距離時，又變成了點，令人摸不到頭緒。
當然筆者要研究的幾何主要是歐氏空間裡的幾何。但歐氏空間是特殊的線性空間，我也先犯一次同樣的錯誤，而先說一說線性空間的點與向量的關係及表示方法。用v^n(因這裡不能編輯上標,因此用^n表示上標為n,當v為數值時v^n表示v的n次冪)表示n維線性空間。
要先指定一點，稱其為原點，用o表示。如果網友問。怎樣指定呀，我也不能作出準確的答覆，我只能說，你讀初中時，經常要在平面直角座標系內畫一次函式與二次函式的圖象，你是怎樣指定原點的，這裡與那裡一樣。而每乙個向量都有起點與終點，乙個向量的起點可以是空間中的任何位置，但只要起點位置確定，那麼它的終點位置也就確定了；反過來說，兩點可以確定乙個向量。由a,b兩點確定的向量寫為『向量ab』，向量的一般表示方法是用乙個小寫字母。如果向量a是由a,b兩點確定，記為a=ab。
我們知道，把n個線性無關的向量e1=(1,0,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0),……,en=(0,0,0,…,1)稱為v^n的一組標準基。又因v^n內的任意向量x=(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,xn∈r,r為實數集)是x=x1*e1+x2*e2+…+xn*en的簡化寫法,因此可把(x1,x2,…,xn)稱為x在標準基下的座標(簡稱為x的座標),xi(i=1,2,…,n)稱為x的第i(維)座標.
以原點為起點的向量x=(x1,x2,…,xn)的終點也稱為點x，把(x1,x2,…,xn)也稱為點x的座標，即以原點為起點的向量與它的終點可以用同一字母表示，並且座標表示方法也一樣。在敘述過程中，根據需要可以把x時而稱為向量，時而稱為點，但是點不是向量，向量也不是點，這看上去有點混亂，但應用起來很方便，你會覺得一點混亂的感覺也沒有，在微分幾何裡，圖形的向量式方程不就是如此嗎。無論x是點還是向量，都可記x=(x1,x2,…,xn)。由此可知,v^n中以原點為起點的向量與v^n中的點一一對應。起點和終點重合的向量是零向量,零向量記為o=(0,0,…,0).當沒給出向量的起點時,一般都認為它以原點為起點。當某點的座標為(a1,a2,…,an)且用大寫字母a表示該點時,其座標可記為a(a1,a2,…,an)或a(a)(其中a=(a1,a2,…,an)),原點為o(0,0,…,0).
無論是《立體幾何》，還是《空間解析幾何》，它們首先研究的都是直線和平面，因為它們是三維空間裡的最基本的圖形。如果對直線和平面沒有充分的認識，對其它複雜的圖形就很難取得很深入的認識。
當把n維線性空間v^n視為點集時，把它的每個子集都稱為v^n內的圖形。
因此對v^n上的幾何的研究，也應首先研究類似直線與平面的圖形。把v^n中類似直線與平面的圖形也稱為直線與平面。不過這裡的直線與平面的維數並不是1與2。直線一般有一維的，二維的，三維的……直至n-2維的；平面一般有二維的，三維的，直至n-1維的。
n維線性空間中也有封閉的幾何圖形，如平行六面體，三稜錐等也都可以是v^n中的圖形，如果它們在乙個「三維平面」內，即是說立體圖形在平面內，在語言上總有點彆扭，因此該給其再取乙個名字。因有平面幾何，立體幾何之分，因此筆者認為稱其為「立體」是比較合適的(取這個名字是否合適，請閱讀帖子的網友或老師給予指正，筆者不勝感激。)
這裡的直線，平面，立體是相對概念。象三輩人站在一起一樣，處在中間輩份的人，在他爸爸面前，他是兒子，在他兒子面前，他是爸爸。乙個立體，在比它高一維的立體前，可稱它為平面，在比它高兩維的立體面前，可以稱它為直線；一條直線在比它低一維的直線面前，可稱它為平面，在比它低兩維的直線面前，又可稱它為立體。這樣稱呼，可增加v^n的直觀感。
(一維)直線的方程
在三維以內的空間裡，對幾何問題所以能作出定量分析，就是因為對作定量分析的圖形都給出了方程。可在泛函分析中，為什麼不給出一些構造簡單的圖形的方程呢？
先來考察平面解析幾何中直線的引數方程，設以t(-∞≤t≤+∞)為引數的直線p的引數方程為：
x=2t-1
y=3t+4
顯然直線p經過點(-1,4)，而(x,y)是p上的任意一點。把方程用向量的形式表示出來，就是
(x,y)=(2,3)t+(-1,4)
把這種形式的方程稱為向量式(可以這樣定義吧)，實質上是引數式的變形。
這時(x,y)與(-1,4)是點還是向量，說得清嗎，可以說這時它們既是點，又是向量，在運算過程中它們是向量，運算前與運算後的結果，它們是點。因此時而把它們稱為點，時而把它們稱為向量，什麼時候稱向量，什麼時候稱點，只能是根據語言環境的需要(這種說法能得到閱讀者的首肯嗎，如有不同觀點，請給予指點)。
如果令r=(x,y),a=(2,3),b=(-1,4)，則的方程形式為r=at+b,可以說直線p經過點b由向量a確定。顯然p是有向直線，稱向量a的方向為p的正向。從而-a是直線的負向。p又是數直線，b是它的原點，a是它的單位。
如果已知直線q經過兩點a(c,d),b(e,f),正方向為b-a，原點為a，則直線q的方程為：
r=(b-a)t+a，
這個方程可稱為有向直線方程的兩點式；
因r=(b-a)t+a=a(1-t)+bt,令u=1-t,v=t，則u+v=1，從而方程又變形為
r=au+bv(u+v=1)
用這種形式表示的直線是沒有方向的。可稱無向兩點式，那前面的就是有向兩點式了。
設直線p以t為引數的引數方程為
x=ct+f
y=dt+g
z=et+h
變形為向量式為
(x,y,z)=(c,d,e)t+(f,g,,h)
令p上的任意一點r=(x,y,z),p上的定點b=(f,g,h),向量a=(c,d,e),則直線p的方程變形為：
r=at+b
稱p為過點b由向量a確定的直線。
如果直線q過a,b兩點，則有兩點式有
r=(b-a)t+a 或
r=au+bv(u+v=1)
設直線p過n維線性空間的點b=(b1,b2,…,bn),由向量a=(a1,a2,…,an),p上的任意一點
x=(x1,x2,…,xn)
推論得p的向量式方程為：
x=at+b
即它的引數方程為：
x1=a1*t+b1
x2=a2*t+b2
…… …… ……
xn=an*t+bn
過兩點a,b的直線q的方程可分別為
x=(b-a)t+a 或
x=au+bv(u+v=1)
直線x=at+b上的任意一點由t的值決定，當t=t0時所確定的點a可記為點a(t0)。
設a(t1),b(t2)是直線x=at+b上的兩點，則閉線段[ab]的方程為
x=at+b(t1≤t≤t2)
開線段(ab)的方程為
x=at+b(t1＜t＜t2)
直線x=(b-a)t+a上，a,b兩點間的線段方程為
x=(b-a)t+a(0≤t≤1) (有方向，由a到b) 或
x=au+bv(u+v=1,u≥0,v≥0)(無方向)
n維線性空間內有向量ab＋向量bc＝向量ac，從而知若向量a+b=c，則是把b的起點放在a的終點，那麼和向量c的起點是a的起點，c的終點是b的終點。
又因向量ac－向量bc＝向量ab，可知向量c-b的幾何意義為，使c,b的終點重合，則c的起點是差向量a的起點，b的起點是差向量a的終點。
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