二維的座標平面可以誕生二維向量，那麼更高維的空間是不是也有更高維的向量呢？它們之間會有什麼性質？
類似於二維向量，我們定義：
對於有序的陣列
其所組成的空間就叫n維向量空間。
實際上你也能把實數看作是一維的向量。
在這裡我們重點討論三維空間向量(x,y,z)。
類似於二維向量，我們定義其加法、數乘、模長、內積運算：
可以驗證這些運算和二維向量具有同樣的性質，對於n維向量都是一樣。
內積同樣有另一種計算方法：
利用同樣的方法，我們可以計算空間向量之間的夾角：
探索：如何證明空間向量內積的兩種計算方式相等？
和內積對應的是向量的外積。
外積會得到乙個新的向量，和原先的兩個向量都垂直，例如空間直角座標系中，x軸和y軸的方向向量外積，得到z軸的方向向量：
如圖，向量ab和ac的外積就是ad。
內積把兩個向量相乘之後，變成了更低維度的數，而外積把兩個向量相乘後，則會進入更高維度的空間，因此我們一般在三維中討論外積。
外積的大小也和內積相對應：
所以有：
向量垂直時，外積最大，內積為0，向量同方向共線時內積最大，而外積為0。
所以我們也可以用外積為0來判斷向量共線，這在三維空間向量中比較好用。
同時外積的大小有其幾何意義，表示兩個向量組成的平行四邊形面積大小：
如圖，向量ab和ad的外積，方向上垂直於這兩個向量所在平面，而大小上等於平行四邊形面積。
而外積的方向則和順序有關，用右手螺旋法則，螺旋從第乙個向量指向第二個向量，大拇指方向就是外積方向，如圖：
可以驗證，外積滿足下列運算性質：
練習：證明這個結論。
尤其要注意反交換律，外積交換順序方向會相反。
高中物理可能會有許多亂七八糟的定則，比如右手螺旋定則，左手定則，右手定則。
這實際上都是高中數學不學習向量外積的後果，真正的法則永遠只有乙個，那就是計算外積用到的右手螺旋定則。
例如電流在磁場中受到安培力，真正的計算公式如下：
其中導體長度l是數，電流和磁場計算外積得到安培力，方向由外積的右手螺旋定則確定。
又比如洛倫茲力，其計算公式如下：
電荷量q是數，如果為負數那麼力的方向相反，方向同樣由外積的右手螺旋定則確定。
根本不需要記憶各類亂七八糟的定則，只需要會計算叉積，知道公式中哪個在前哪個在後。
可以說高中數學的缺失對於高中物理教學簡直是毀滅性的。
探索：物理中還有哪些用到外積的公式？
根據向量的加法，我們知道三維空間向量(x,y,z)可以分解為xi+yj+zk，其中i,j,k分別是三個座標軸的單位向量。
接下來我們可以利用外積的運算法則，推導外積的座標計算：
其實這個複雜的形式可以被寫成矩陣行列式：
特別對於z=0的xoy平面向量，則有：
探索：行列式是怎麼計算的？
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