i、j、k三軸定義如上圖所示。滿足右手螺旋定則：
複數的乘法：(ai+bj+ck)×(xi+yj+zk)=(ax)i×i+(ay)i×j+(az)i×k+(bx)j×i+(by)j×j+(bz)j×k+(cx)k×i+(cy)k×j+(cz)k×k = -(aa+bb+c*c)+(bz-cy)i+(cx-az)j+(ay-bx)z
向量內積：(a,b,c)·(x,y,z) = ax+by+cz
向量外積：
(e1、e2、e3分別為i、j、k三軸上的單位向量)
由此可知：
複數乘法(ai+bj+ck)×(xi+yj+zk)=-(向量內積)+(向量外積) 【形式上相等】
二維複數可以表示二維平面上的旋轉。
如：定義待旋轉的複數p=2+i，定義旋轉因子q=cos45+isin45
則如下圖所示
旋轉因子q左乘被旋轉複數p表示p逆時針轉45°。
原貼見：
若用實軸x、ij兩個虛軸表示旋轉因子q和被旋轉複數p，那麼p繞某個軸轉動時，有：
x軸繞j軸轉動：x×(a+bi) [j不出現]
i軸繞x軸轉動：i×(a+bj) [x不出現]
此時會出現乙個問題，i×j這一項並不能表示實軸x，因為沒有規定。i×i=-1是可以的，但i×j不是實數。因此，由於i、j、x三軸雖然呈相互垂直關係，但無法用叉乘相互表示，不滿足計算的需求。因此引入四維複數（四元數），在三維複數的基礎上再引入乙個虛軸k，而將實軸x=0隱去，此時ijk三軸滿足叉乘相互表示（右手螺旋定則）。
因此，用四維複數替代三維複數只是因為實軸x無法通過i×j表示，不滿足計算需要而已。將四維複數的實部置零，形式上是四維，當實際上用的時候是三維，實部是不需要的。
另乙個角度思考：（如被轉複數p=2只含有實部時，這個點既可以說是一維軸上的乙個點，也可以說是二維平面內的乙個點。低維的點、線、麵等都既可以存在於它自身的維度上，又可以存在於任意更高的維度內。）二維中，旋轉因子q=a+bi可以將原本在實軸上的一維的點轉進二維的平面裡。乘以幾維的複數就是在幾維空間中進行旋轉，比如乘以四維複數，那麼就是在四維空間中進行旋轉。但是旋轉並不一定會把實軸上的一維的p轉到二維平面上去，比如二維平面上有p=2，旋轉因子定義為q=3，那麼p、q都可以看做虛部為0的二維複數，此時旋轉p』=q×p=6，此時的旋轉只是在實軸上，並沒有把p轉進二維平面上。四元數表示的三維空間中的旋轉也是這個道理，p是乙個純四元數，實部為0，是實實在在的三維空間中的乙個向量，我們對p乘以另乙個四元數q時，實際上是在四維空間中進行的乙個旋轉，只不過如同二維平面上一樣，我們可以通過某種方式讓p的旋轉只保持在三維空間中，而不至於轉到四維空間中去。
另外，引自：
…所以從始至終，四元數定義的都是四維旋轉，而不是三維旋轉！……說白了，三維旋轉就是四維旋轉的乙個特例，就像二維旋轉是三維旋轉的乙個特例一樣。……qpq-1這種左乘單位四元數，右乘其共軛的表示式……這個運算形式是為了限制其運算結果所在的空間。簡單的說，當對乙個三維向量進行三維旋轉後，我們希望得到的是乙個三維向量。……那麼這個左乘單位四元數，右乘其共軛的運算保證了結果是乙個在三維超平面上中的純四元數。設四元數表示為：[s,v]，其中s為乙個實數，是四元數的實部。v是3維向量（或看成3維純虛數），v=xi+yj+zk。則四元數相乘計算為：q1×q2=[sa , va]×[sb , vb]=[sa•sb+va•vb , sa•vb+sb•va+va×vb]
定義：單位四元數：q=[s , v],|q|=1
純四元數：q=[0 , v],即實部為0，是乙個三維空間中的向量
原貼見：
二維空間中，旋轉因子q=cosθ+sinθi,由上一部分的四元數書寫表示，亦可將二維的旋轉因子表示為q=[ cosθ,sinθv],其中v為一維純虛數，v=i。三維空間中既然要用四維複數表示旋轉，那麼也可以定義旋轉因子為：q=[ cosθ,sinθv],其中v為三維純虛數，v=ai+bj+cz。（留乙個問題：二維平面上q能畫出來，三維空間中這個q呢？）
現有被旋轉三維複數寫成四維的純四元數形式：p=[0,p]，旋轉因子q=[ cosθ,sinθv]， 則p』=q×p=[ sinθv•p , cosθ•p+ sinθv×p]
①v和p正交時，繞v旋轉45°，則p』=[ 0 , cosθ•p+ sinθv×p]
舉例：p=[0,2i] q=[√2/2,√2/2 v]，為了v和p正交，不妨設v=k，
則p』=[0, √2i+√2k×i]=[0, √2i+√2j]，旋轉過程如下圖，繞k軸旋轉45°。
② v和p不正交時，繞v旋轉45°，則p』=[ sinθv•p , cosθ•p+ sinθv×p]
舉例：p=[0,2i]不變， q=[√2/2,√2/2 v]，為了v和p不正交，不妨設v= √2/2 i+√2/2 k
此時計算p』=q×p=[-1, √2i+j]
可以看到，計算結果p』已經不再是純四元數了，實際上就是p被q轉進了四維空間，而在其純虛數ijk的三維空間內的投影如上圖所示，紅色的p並沒有繞玫紅色的v= √2/2 i+√2/2 k旋轉45°，而且|p』|≠2，被拉伸變形了。
此時hamilton提出了一種修正演算法，
這樣可以算的p』=[0,i+√2j+k]，如下圖所示，
此時旋轉後的|p』|=2，沒有被拉伸，但是轉過了90°（p-v平面和p』-v平面夾角為90，即p-v平面繞著v逆時針轉了90°），角度上變為了兩倍，因此進一步修正，令
原貼見：
空間中的三維旋轉可視為繞三個基本軸的旋轉組合疊加，繞 x,y,z （分別代表i,j,k三個軸）三個基本軸旋轉角度分別為 ϕ，θ，ψ ，則三個基本旋轉的四元素可表徵為：
繞三個基本軸的旋轉次序不同，其表徵的空間旋轉也不同，下面以zyx的順序計算（此處根據參考資料撰寫，和前面的幾塊內容在左乘右乘上順序不同，此處是右乘，就是順時針轉動）：
則已知四元數時，反求尤拉角：
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