前面我們得到關於全純函式導數的估計式
\[|f'(z_)|\leq\frac\cdot\sup\limits_,r)}|f(z)|\]
如果我們設$f(z)$在整個復平面$\mathbb c$上有界,在上式中令$r\to\infty$即得
\[f'(z_)=0\]
由$z_$的任意性可知$f'(z)=0$在$\mathbb c$上恆成立.這就說明$f(z)$常值了.可以簡單證明一下,這一點根據cauchy-riemann方程是顯然的.
以上便是liouville定理的內容：若全純函式$f(z)$在$\mathbb c$上有界,則必為常數.
當然也可以這樣說明，因為$f$全純,那麼在任一閉圓盤$\overline(0,r)$上,$f$有taylor級數
\[f(z)=\sum_^a_z^n\]
其中$$|a_|\leq\frac$$,令$r\to\infty$可得$a_=0(n=1,2,\cdots)$,從而
$$f(z)=a_$$
如果引入無窮遠點$\infty$可微性的概念:設$f(z)$在無窮遠點全純,定義為函式$f\left(\frac\right)$在$z=0$處全純.
我們便可將liouville定理敘述為:在擴充復平面$\mathbb c^*$上的全純函式必為常數.
liouville定理可以用來證明代數學基本定理：設$f(z)\in\mathbb c_[x]$,若$f(z)$沒有零點,那麼$\frac$在$\mathbb c$上全純,且由於$\lim\limits_f(z)=\infty$,則$\frac$有界,根據liouville定理可知$f(z)$為常數,矛盾!
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