先看一道poj上的題目：【poj1006】 biorhythms
人自出生起就有體力，情感和智力三個生理週期，分別為23，28和33天。乙個週期內有一天為峰值，在這一天，人在對應的方面（體力，情感或智力）表現最好。通常這三個週期的峰值不會是同一天。現在給出三個日期，分別對應於體力，情感，智力出現峰值的日期。然後再給出乙個起始日期，要求從這一天開始，算出最少再過多少天後三個峰值同時出現。
首先我們要知道，任意兩個峰值之間一定相距整數倍的週期。假設一年的第n天達到峰值，則下次達到峰值的時間為$$($$是週期，$$是任意正整數)。所以，三個峰值同時出現的那一天$$應滿足$$$$
$$分別為為體力，情感，智力出現峰值的日期， $$分別為體力，情感，智力週期。 我們需要求出$$三個非負整數使上面的等式成立。
想直接求出$$貌似很難，但是我們的目的是求出$$， 可以考慮從結果逆推。根據上面的等式，$$滿足三個要求：除以$$餘數為$$，除以$$餘數為$$，除以$$餘數為$$。這樣我們就把問題轉化為求乙個最小數，該數除以$$餘$$，除以$$餘$$，除以$$餘$$。這就是著名的中國剩餘定理，我們的老祖宗在幾千年前已經對這個問題想出了乙個精妙的解法。依據此解法的演算法，時間複雜度可達到$$。
在《孫子算經》中有這樣乙個問題：「今有物不知其數，三三數之剩二（除以3餘2），五五數之剩三（除以5餘3），七七數之剩二（除以7餘2），問物幾何？」這個問題稱為「孫子問題」，該問題的一般解法國際上稱為「中國剩餘定理」。具體解法分三步：
找出三個數：從3和5的公倍數中找出被7除餘1的最小數15，從3和7的公倍數中找出被5除餘1 的最小數21，最後從5和7的公倍數中找出除3餘1的最小數70。
用15乘以2（2為最終結果除以7的餘數），用21乘以3（3為最終結果除以5的餘數），同理，用70乘以2（2為最終結果除以3的餘數），然後把三個乘積相加$$得到和233。
用233除以3，5，7三個數的最小公倍數105，得到餘數23，即$$。這個餘數23就是符合條件的最小數。
就這麼簡單。我們在感嘆神奇的同時不禁想知道古人是如何想到這個方法的，有什麼基本的數學依據嗎？
我們將「孫子問題」拆分成幾個簡單的小問題，從零開始，試圖揣測古人是如何推導出這個解法的。
首先，我們假設$$是滿足除以3餘2的乙個數，比如2，5，8等等，也就是滿足$$的乙個任意數。同樣，我們假設$$是滿足除以5餘3的乙個數，$$是滿足除以7餘2的乙個數。
有了前面的假設，我們先從$$這個角度出發，已知$$滿足除以3餘2，能不能使得$$的和仍然滿足除以3餘2？進而使得$$的和仍然滿足除以3餘2？
這就牽涉到乙個最基本數學定理，如果有$$，則有$$，換句話說，如果乙個除法運算的餘數為$$，那麼被除數與$$倍的除數相加（或相減）的和（差）再與除數相除，餘數不變。這個是很好證明的。
以此定理為依據，如果$$是3的倍數，$$就依然滿足除以3餘2。同理，如果$$也是3的倍數，那麼$$的和就滿足除以3餘2。這是從$$的角度考慮的，再從$$，$$的角度出發，我們可推導出以下三點：
為使$$的和滿足除以3餘2，$$和$$必須是3的倍數。
為使$$的和滿足除以5餘3，$$和$$必須是5的倍數。
為使$$的和滿足除以7餘2，$$和$$必須是7的倍數。
因此，為使$$的和作為「孫子問題」的乙個最終解，需滿足：
$$除以3餘2，且是5和7的公倍數。
$$除以5餘3，且是3和7的公倍數。
$$除以7餘2，且是3和5的公倍數。
所以，孫子問題解法的本質是從5和7的公倍數中找乙個除以3餘2的數$$，從3和7的公倍數中找乙個除以5餘3的數$$，從3和5的公倍數中找乙個除以7餘2的數$$，再將三個數相加得到解。在求$$，$$，$$時又用了乙個小技巧，以$$為例，並非從5和7的公倍數中直接找乙個除以3餘2的數，而是先找乙個除以3餘1的數，再乘以2。也就是先求出5和7的公倍數模3下的逆元，再用逆元去乘餘數。
這裡又有乙個數學公式，如果$$，那麼$$,也就是說，如果乙個除法的餘數為$$，那麼被除數的$$倍與除數相除的餘數為$$。展開式中已證明。
最後，我們還要清楚一點，$$只是問題的乙個解，並不是最小的解。如何得到最小解？我們只需要從中最大限度的減掉掉3，5，7的公倍數105即可。道理就是前面講過的定理「如果$$，則有$$」。所以$$就是最終的最小解。
這樣一來就得到了中國剩餘定理的公式：
設正整數普通的中國剩餘定理要求所有的這種情況就採用兩兩合併的思想，假設要合併如下兩個方程：
有整數解。並且在模
其中
那麼得到：
我們需要求出乙個最小的$$使它滿足：
那麼$$和$$就要盡可能的小，於是我們用擴充套件歐幾里得演算法求出$$的最小正整數解，將它代回$$，得到$$的乙個特解$$，當然也是最小正整數解。
所以$$的通解一定是$$加上$$，這樣才能保證$$模$$和$$的餘數是$$和$$。由此，我們把這個$$當做新的方程的餘數，把$$當做新的方程的模數。（這一段是關鍵）
合併完成：
中國剩餘定理學習筆記
上次jt暑假講的時候我數學太弱並沒有聽懂qwq。假設有方程組 mi 兩兩互質 x ai m odmi 令 m i 1nmi wi mmi 易知有 gc d wi mi 1下一步求出pi 使得 wi pi 1 mo dmi 這個時候x的乙個解可以表示為 x i 1 nwi pi a i 為什麼x可行呢...
中國剩餘定理學習筆記
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中國剩餘定理 學習筆記
目錄中國剩餘定理 chinese remainder theorem 簡稱crt。crt可以求解乙個這樣的方程組的最小解 left x equiv b 1 pmod x equiv b 2 pmod x equiv b 3 pmod vdots x equiv b k pmod end right....