上節課我們推導了取樣定理的公式，該公式可以說是本課程最重要的公式。
設有頻寬為$p$的函式$f(t)$，在頻域對這個函式用$ш_p$進行週期化後，再用$\pi_p$對它進行裁剪，得到的還是原來的函式
$\mathcalf = \pi_p(\mathcalf*ш_p)$
最終推導得到
$f(t) = \displaystyle^f(\frac)sinc \left(p(t-\frac)\right) }$
在上式中，$p$可被稱為抽樣速率，即每秒的抽樣數目。同時$p$也被稱為奈奎斯特速率（nyquist rate）。
設實際的抽樣速率為$p'$，$p'>p$，這時仍可以使用上述公式。
這表明實際的抽樣間隔為$\frac$，$\frac
取樣定理的公式，依賴於函式上無限個取樣值$f(\frac) $，根據這些取樣值我們能從公式得到原函式$f(t)$。而在實際應用中，我們只能得到有限項的取樣值，這會導致計算產生誤差。
乙個訊號不可能同時在時間與頻率都受限。
這句話的意思是
$\left.\begin
&if & \mathcalf(s) \equiv 0 &for &|s|\geqslant\frac \\
&then & f(t)\not\equiv 0 &for &t\ sufficiently\ large
\end\right.$
即，如果乙個訊號在頻率上是受限的，它在時間上的有限遠處必然還存在不為$0$的值。同理，如果乙個訊號在時間上是受限的，它在頻率的有限遠處也必然還存在不為$0$的值。
$\left.\begin
&if &f(t) \equiv 0 &for &t\geqslant\frac \\
&then & \mathcalf(s)\not\equiv 0 &for &s\ sufficiently\ large
\end\right.$
由於時間與頻率有著這樣的關係，因此，對於有限頻寬的函式，是不能從有限項抽樣就能得出原函式的整體樣貌的。
關於為何有限頻寬函式在時間上的有限遠處必然還存在不為$0$的值，由如下推導證明
乙個有限頻寬函式被$\pi_p$截斷仍然是原本的函式，即
$\begin
f(t)
&=\mathcal^(\pi_p(\mathcalf))\\
&=(\mathcal^\pi_p)*(\mathcal^\mathcalf) \qquad (fourier\ convolution\ theorem)\\
&=psinc(pt)*f(t)
\end$
因此，對於有限頻寬為$p$的函式$f(t)$，有
$f(t) = psinc(pt)*f(t)$
對於等式的右邊，$sinc$函式是無限延伸的，它在有限遠處必然有不為$0$的值，因此$f(t)$與它的卷積也會在有限遠處有不為$0$的值。
在實際情況中，訊號的時間與頻率都是受限的，因為我們不可能無窮地測量，這就是實際情況與數學理論的衝突。
當抽樣速率為$p'$，$p'
重疊會導致疊加，從而重疊部分的頻率曲線上公升
用$\pi_$截斷後，得到的並不是原始函式的傅利葉變換。
它的逆傅利葉變換為
$\mathcal^(\pi_(\mathcalf*ш_p))=\displaystyle^f(\frac)sinc(p'(t-\frac)) }$
但是這並不是$f(t)$，因為$\mathcalf \neq \pi_(\mathcalf*ш_)$。我們把這結果稱為$g(t)$
$g(t) = \displaystyle^f(\frac)sinc(p'(t-\frac)) }$
$f(t)$與$g(t)$在抽樣點$\frac$（$m$為任意整數）上是相等的。
$\begin
g(\frac)
&=\sum_^f(\frac)sinc\left(p'(\frac-\frac)\right)\\
&=\sum_^f(\frac)sinc(m-k)\\
&=\sum_^f(\frac)\frac \qquad(sinc = \frac)\\
&=f(\frac) \qquad
\left( sinc(m-k) = \begin
1 & \text m=k \\
0 & \text m\neq k
\end\right )
\end$
我們可以說$f(t)$與$g(t)$是混疊的（alias），這意思是$f(t)$與$g(t)$不相等，但是它們在取樣點$\frac$上的取樣值是相等的。
有頻率為$\frac$的函式
$f(t) = cos\left( \fract\right)$
它的傅利葉變換為
$\mathcalf(s) = \frac\left( \delta(s+\frac) + \delta(s-\frac) \right)$
因此頻寬為$p=\frac$。
令抽樣頻率為$1$，意味著$p' = \frac = 1$，即有
$\begin
g(t)
&= \mathcal^(\pi_(\mathcalf*ш_))\\
&= \mathcal^(\pi(\mathcalf*ш)\\
&= \mathcal^\left(\pi\left(\frac\left(\delta(s+\frac)+\delta(s-\frac) \right )*\sum_^\delta(s-k)\right)\right)\\
&= \mathcal^\left(\pi\left(\frac\sum_^\left(\delta(s+\frac-k)+\delta(s-\frac-k) \right ) \right ) \right ) \qquad(\delta\ shift\ property)\\
&= \mathcal^\left(\frac\left(\delta(s+\frac)+\delta(s-\frac) \right ) \right ) \qquad (only\ \delta_}\ and\ \delta_}\ in\ the\ scope\ of\ \pi)\\
&= cos\left(\fract \right )
\end$
推導得到的$g(t)$並不等於$f(t)$，而在取樣點$\frac = \frac = m$（m為任意整數），即$0,\pm 1,\pm 2 …$處的取樣點是一樣的。
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