euler定理:對於正整數a,p,若(a,p)=1,有aφ(p)mod p=1,其中尤拉函式φ(p)=p(1-1/p_1) (1-1/p_2)......(1-1/p_k),p_1,p_2,....,p_k是p的所有的素數因子.
當p是乙個素數時,它的特例如下:
fermat 小定理:如果p是素數,(a,p)=1,則a(p-1) mod p=1.(這是因為φ(p)=p-1)
它 的應用:
1.求a^n mod(p),其中n是乙個較大的數,而p是乙個素數
這時就可以用費馬小定理了,將a^n拆為a^(p- 1)*a^(p-1)*......*a^(n%(p-1)).這時原式就等於a^(n%(p-1)) mod(p),這樣就可以大大減小運算次數,如果p還是很大,可以用反覆平方的方法,複雜度在o(log(n%(p-1)))的級別.
2.給定乙個正整數n，求乙個最小的整數x，使得2^x mod n=1。
當n是偶數時無解。
當n是奇數時，(2,n)=1,根據euler定理,2^phi(n)mod n=1,但phi(n)未必就是答案，因為有可能存在乙個更小的解，但我們可以確信最小解x一定是phi(n)的因子,如果不是phi(n)的因子，則設n mod x=r(0(1)求解x=phi(n);
(2)找出phi(n)的所有的素因子p_i(1<=i<=nr);
(3)for i=1……nr
讓x=x/p_i
直到2^x mod n!=1 或 p_i不能整除x
if 2^x mod n!=1
x=x*p_i
(4)x就是所求解
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