因為在臨時抱佛腳，所以是沒有證明的~
對於行列式 \(d\)，任意第 \(i\) 行（列同理）按下式展開的值與行列式值相等
\[\text=\sum_^n (-1)^\cdot a_\cdot m_
\]其中 \(m_\) 是 \(a_\) 的余子式。
一些閒話：這個可以用來推導 "輪狀病毒" 一題中的遞推式。
構造連通矩陣和度數矩陣。連通矩陣 \(a\) 的第 \(i\) 行第 \(j\) 列上的數字表示原無向圖中 \(i,j\) 兩點之間邊的條數。度數矩陣 \(d\) 只有 \(d_\) 有值表示點 \(i\) 的度數。定義 \(l=d-a\)，無向圖生成樹的個數就是 \(l\) 去掉任意行任意列的矩陣的行列式。
例 1.求無向圖所有生成樹邊權乘積的和。
將度數矩陣變成與點鄰接邊的邊權和，連通矩陣變成邊的權值再應用矩陣樹定理即可。
例 2.求無向圖必選某一條邊的所有生成樹個數。
我是傘兵，這都不會。簡單容斥即可。
例 3.用生成函式描述限制：\(\rm link.\)
例 4.\(\text\)重建
題目要求
\[\begin
\text&=\sum_\left(\prod_p_e\cdot \prod_(1-p_e) \right)\\
&=\sum_\left(\prod_p_e\cdot \frac(1-p_e)}(1-p_e)} \right)\\\
&=\prod_(1-p_e)\cdot \sum_\left(\prod_\frac \right)
\end
\]給出有向圖和其中的乙個點，求以這個點為根的生成外向樹個數（外向樹滿足每個點有且僅有一條入邊）。
構造連通矩陣和度數矩陣。連通矩陣 \(a\) 的第 \(i\) 行第 \(j\) 列上的數字表示有向圖中 \(i\rightarrow j\) 的邊的條數。度數矩陣 \(d\) 只有 \(d_\) 有值表示點 \(i\) 的入度。定義 \(l=d-a\)，答案就是 \(l\) 去掉根所在的行和列的矩陣的行列式。
給出有向圖和其中的乙個點，求以這個點為根的生成內向樹個數。
構造連通矩陣和度數矩陣。連通矩陣 \(a\) 的第 \(i\) 行第 \(j\) 列上的數字表示有向圖中 \(i\rightarrow j\) 的邊的條數。度數矩陣 \(d\) 只有 \(d_\) 有值表示點 \(i\) 的出度。定義 \(l=d-a\)，答案就是 \(l\) 去掉根所在的行和列的矩陣的行列式。
用於求解有向圖尤拉迴路的個數。
首先，如果存在某個點的入度和出度不相等，那麼這張圖不存在尤拉迴路。否則，設 \(t(s)\) 為以 \(s\) 為根的內向樹（或者外向樹）個數，\(\text(s)\) 為 \(s\) 的出度（或者入度），所求即為
\[t(s)\cdot \prod_(\text(v)-1)!
\]需要注意的是，以任何乙個點作為根最後都可以得出一樣的答案。
如果要求從點 \(s\) 開始的尤拉迴路個數呢？此時只能代入 \(t(s)\)，最後答案還要多乘上 \(\text(s)\).
矩陣樹定理學習筆記
pn 其中p為1 n的任意乙個排列，p 表示排列p逆序對數 形象的表示就是 在這個n 3的矩陣中，每一條線就代表著d1 p1 d2,p 2 d3 p3 dn,p n d1,p1 d 2,p2 d3,p3 d n,pn 其中可以發現，相連的斜線為 就會讓逆序對數 1，就不增加 具體怎麼算呢？比如說上圖...
矩陣樹定理學習筆記
對矩陣 a begina a a dots a a a a cdots a vdots vdots vdots ddots vdots a a a dots a a a a dots a end 它的行列式定義為 det a sum 1 ra a cdots a 其中 p 是 1 sim n 的排列...
矩陣樹定理學習筆記
這也是乙個黑科技 設乙個無向圖的鄰接矩陣為 a 度數矩陣為 d 則基爾霍夫矩陣 k d a 的行列式的值就是生成樹的個數。注意這裡的 k 是要把最後一行和最後一列去掉的。證明？不存在的 它還有乙個擴充套件，叫做變元矩陣樹定理 若將鄰接矩陣的 a i j 設為邊權，度數矩陣的 d i i 設為與 i ...