crt在演算法競賽中算是乙個比較重要的模組，他的基本形式如下：
給出n個式子： x≡
a1mo
dp1 x≡a
1mod
p1
x≡a2mod
p2x ≡a
2mod
p2
x≡a3mod
p3x ≡a
3mod
p3
……
x≡an mo
d pn
' role="presentation">x≡a
nmod
pnx≡
anmo
dpn求x的最小正整數解。（pi互質）
那麼如何求解x呢？
我們先考慮求解x的乙個可行解x0
x
0因為同餘的可加性，我們可以把x0
x
0拆成x
0=x1
+x2+
x3+…
+xn x0=
x1+x
2+x3
+…+x
n，每個xi x
i對應的式子為： xi
≡aim
odpi
x i≡
aimo
dp
i對於不等於i的值j xi
≡0mo
dpj xi≡
0mod
pj
再由於同餘的可乘性，我們可以把x拆成x=
a1x1
+a2x
2+…+
anxn
x =a
1x1+
a2x2
+…+a
nx
n，把式子改為： xi
≡1mo
dpi xi≡
1mod
pi
然後我們觀察每個xi
x
i：對於每個xi
x
i和不等於i的所有j，由於 xi
≡0mo
dpj xi≡
0mod
pj
設所有p的乘積為p，那麼xi
x
i一定是ppi
p pi
的倍數，那麼我們可以把xi
x
i改為 g(p
pi)≡
1mod
pig (p
pi)≡
1mod
pi
，通過這個式子可以看出g其實是pp
i pp
i在模p
i pi
意義下的逆元，xi
x
i就可以求出來，x0
x
0也就求出來了，x0
x
0的公式為： x0
=a1∗
p1∗g
1+a2
∗p2∗
g2+⋯
+an∗
pn∗g
n x0=
a1∗p
1∗g1
+a2∗
p2∗g
2+⋯+
an∗p
n∗gn
其中pi
p i為p
pip pi
，gi gi為p
i pi
在模pi p
i意義下的逆元
x的所有解為x=
x0+t
p（t∈
z）x =x
0+tp
（t∈z
）需要注意的是這種方法只能用於p均為質數的情況下，如果p不是質數的話需要用其他方法，這不是crt的內容，這裡就不講了，有興趣的朋友可以去看看我前面寫的一篇基礎數論入門，那裡面有所提及。
來道題練練手？
bzoj 1951-古代豬文
題目大意：
給出g,n,求g∑
d|nc
dng ∑d
|ncn
d%999911659
solution:
解決這個問題我們需要求出∑d
|ncd
n ∑d|
ncnd
，那麼不妨設x=
∑d|n
cdn x=∑
d|nc
nd
通過尤拉定理我們知道gp
−1≡1
modp
g p−
1≡1m
od
p所以說gx
≡gx%
(p−1
)mod
p gx≡
gx%(
p−1)
modp
我們只需要求出x%
(p−1
) x%(
p−1)
即可，由於p-1不是乙個質數，但是它可以分解成多個質數
(999911658=2
∗3∗4679
∗35617
999911658=2
∗3
∗4679
∗35617
) 那麼這道題就可以用crt了。
**：
//999911658=2*3*4679*35617
#include
#include
#include
using namespace std;
int n,g;
int md[4]=;
int tot=999911658;
int ni[4][40000];
int mi[4][40000];
int nn=0;
int f[4];
int fast_pow(int x,int a,int
mod)
return ans;
}int c(int n,int m,int
mod)
int main()
for (int j=0;j<4;j++)
ni[j][0]=1;
}//coutfor (int i=1;i<=qn;i++)}}
int ans=0;
for (int j=0;j<4;j++)
printf("%d",fast_pow(g,ans,tot+1));
}
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