manacher（馬拉車）演算法求最長回文子串

問題提出

問：給定乙個字串，要求其最長回文子串。

例如：

「aaaa」，其最長回文子串為4，即「aaaa」，

「abcd」，最長回文子串為1，

「abccb」，最長回文子串為4，即「bccb」。

如果直接對每乙個字元遍歷，分別向兩邊查詢的話，時間複雜度為o(n

2n^2

n2)，效率很低。

那有沒有更高效的演算法呢。

2023年，乙個叫manacher的人發明了一種演算法，即manacher演算法，時間複雜度可以達到o(n

nn)。

演算法描述

1 、1、

1、預處理

由於回文串分為奇回文（長度為奇數）、和偶回文（長度為偶數），本因分兩種情況處理，但為了簡化這一步，我們將對原字串進行處理，使之變成奇回文。

具體做法是在每個字元左右兩邊都加上乙個特殊字元，如:

原字串為，abba，長度為4,

處理後，#a#b#b#a#，長度為9。

原字串為，aba，長度為3，

處理後，#a#b#a#，長度為7。

2 、2、

2、最長回文子串長度

我們引入乙個輔助陣列，int p[ ]，p[i]表示以原字串s中i位置處s[i]為中心的最長回文半徑。

以字串abbaf為例，預處理後字串為#a#b#b#a#f#

i       012

3456
78910
1112
arr[i]  #  c  #  a  #  b  #  b  #  a  #  f  #
p[i]12
1212
5212121

接下來我們來**最長回文子串長度和最長回文半徑之間的關係。

再看幾個例子，aba， 轉換之後為#a#b#a#，最長回文子串為aba，長度為3，最長回文半徑為p[4]=4。

再如，#a#e#f#e#a#，最長回文子串為aefea，長度為5，計算得最長回文半徑為p[6]=6。

我們發現，最長回文子串長度=最長回文半徑-1，即p[i]-1。

事實上，的確存在這個結論。我們可以這樣理解，最長回文子串即以某一點i為中心，以p[i]為半徑所覆蓋的線段，那麼對於原始字串最長回文子串長度=p[i]*2。由於預處理後，每個字元左右都加了乙個特殊字元，所以最長回文半徑變為了原來的2倍，最長回文子串長度變為了原來的*2-1，那麼最長回文子串長度=p[i]-1。

3 、3、

3、計算p陣列

現在知道了要求的最長回文子串長度與最大回文半徑p[i]有關，那麼接下來就討論最大回文半徑p[i]怎麼求。

我們設定兩個變數id、mx，id表示能延伸到最右端的回文子串的中心位置，mx表示該子串的最右端位置。

那麼有，mx=id+p[id]。

對於i4、4、

4、參考** c++

char s[maxn]

;//原始字串
char s1[maxn]
;//預處理後字串
char p[maxn]
;//最長回文半徑
intinit()
//預處理
s1[j]
='\0'
;//處理邊界，防止越界
return j;
//返回處理後的字串長度
}int
manacher()
//計算最長回文子串長度
maxlen=
max(maxlen,p[i]-1
);}return maxlen;
//返回最長回文子串長度
}

5、參考習題

洛谷p3805 【模板】manacher演算法

orhdu3068 最長回文

Manacher 馬拉車演算法

給定乙個字串，求出其的最長回文子串 乙個將時間複雜度優化到o n 的演算法 暴力演算法，但不是純暴力，即按照做過的事情不再去做來優化 我們知道，乙個回文串要麼是奇數的串 aba 要麼是偶數的串 abba 可以看出，乙個回文串有乙個對稱軸 對於奇數串aba來說,對稱軸就是b 而對於偶數串abba來說，...

Manacher演算法（馬拉車）

演算法總結第三彈 manacher演算法，前面講了兩個字串相演算法 kmp和拓展kmp，這次來還是來總結乙個字串演算法，manacher演算法，我習慣叫他 馬拉車 演算法。相對於前面介紹的兩個演算法，manacher演算法的應用範圍要狹窄得多，但是它的思想和拓展kmp演算法有很多共通支出，所以在這裡...

馬拉車演算法manacher

1.預處理解決奇回文和偶回文問題 比如 str bcbaa 在每個字元的開頭，結尾和中間插入乙個特殊字元 來得到乙個新的字串 b c b a a 這樣對於原來字串中的奇回文 bcb 來說，在新的字串中變成了 b c b 還是奇回文，只是回文串長度從3變成了7 注意 中 i 1 0，與1按位與，如果i...