卡特蘭數(catalan number)又稱卡塔蘭數，卡特蘭數是組合數學中乙個常出現在各種計數問題中的數列。以比利時的數學家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)的名字來命名。遞推實現（在此用cnc_
cn表示卡特蘭數的項數）：
c n+
1=c0
cn+c
1cn−
1+…+
cnc0
(c0=
1,c1
=1,n
≥1
)\beginc_=c_c_+c_c_+\ldots +c_c_\\ \left( c_=1,c_=1,n\geq 1\right) \end
cn+1=
c0c
n+c
1cn
−1+
…+cn
c0
(c0
=1,c
1=1
,n≥1
)化簡（以後用hnh_
hn表示卡特蘭數的項數,cnc_
cn表示組合數公式）：
h (n
)=h(
n−1)
4n−2
n+
1h\left( n\right) =h\left( n-1\right) \dfrac
h(n)=h
(n−1
)n+1
4n−2
其解為：
h (n
)=c2
nnn+
1=c2
nn−c
2nn−
1(n=
0,1,
2…
)\beginh\left( n\right) =\dfrac _}=c^_-c^_\\ \left( n=0,1,2\ldots \right) \end
h(n)=n
+1c2
nn
=c2n
n−c
2nn−
1(n
=0,1
,2…)
由於卡特蘭數很大，超過33中間數就超了unsigned long long型了，所以n
<=33
(h(0
)=1,
h(1)
=1
)n<=33 (h(0)=1,h(1)=1)
n<=3
3(h(
0)=1
,h(1
)=1)
時可以用如下方法
(注意是cat
alan
[i−1
]∗(4
∗i−2
)catalan[i - 1] * (4 * i - 2)
catala
n[i−
1]∗(
4∗i−
2)不能爆unsigned long long：18446744073709551615)
#include
using
namespace std;
typedef
unsigned
long
long ull;
intmain()
;for
(int i =
2; i <=
33; i++
) catalan[i]
= catalan[i -1]
*(4* i -2)
/(i +1)
;printf
("%llu"
, catalan[n]);
return0;
}
其前幾項為（從第零項開始） : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430…思路：
套用組合數板子即可
**：
求卡特蘭數h(6)=132(從第零項開始)
//求卡特蘭數h(6)=132(從第零項開始)
#include
#define ll long long
#define js ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0)
using
namespace std;
const
int mod=
1e9+7;
intqpow
(int a,
int k)
//k>>1:編譯器檢查不出來的錯誤
return ans;
}int
inverse
(int a)
//費馬小定理
intc
(int n,
int m)
return ans;
}int
main()
)%p=
(luc
as(2
n,n,
p)−l
ucas
(2n,
n−1,
p)+p
)h(n)\%p=(lucas(2n,n,p)-lucas(2n,n-1,p)+p)%p
h(n)%p
=(lu
cas(
2n,n
,p)−
luca
s(2n
,n−1
,p)+
p)（取模前前者一定大於後者，相減一定為正，而取模後就不一定了，所以要加乙個p，保證是正數）
**：
求卡特蘭數h(6)=132(從第零項開始)
//求卡特蘭數h(6)=132(從第零項開始)
#include
#define ll long long
#define js ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0)
using
namespace std;
const
int mod=
1e9+7;
intqpow
(int a,
int k)
//k>>1:編譯器檢查不出來的錯誤
return ans;
}int
inverse
(int a)
//費馬小定理
intc
(int n,
int m)
return ans;
}int
lucas
(int n,
int m)
intmain()
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