δ(n)(at)=1|a|1anδ(n)(t)δ(n)(at)=1|a|1anδ(n)(t)f(t)δ′(t−t0)=f(t0)δ′(t−t0)−f′(t0)δ(t−t0)f(t)δ′(t−t0)=f(t0)δ′(t−t0)−f′(t0)δ(t−t0)f(t)δ(n)(t−t0)=∑i=0n(−1)i(ni)f(i)(t0)δ(n−i)(t−t0)f(t)δ(n)(t−t0)=∑i=0n(−1)i(ni)f(i)(t0)δ(n−i)(t−t0)f(x)=a02+∑n=1∞(ancosnπlx+bnsinnπlx)f(x)=a02+∑n=1∞(ancosnπlx+bnsinnπlx)
an=1l∫l−lf(x)cosnπlxdxan=1l∫−llf(x)cosnπlxdx
bn=1l∫l−lf(x)sinnπlxdxbn=1l∫−llf(x)sinnπlxdx
ϕ(x)=∑n=1∞cnsinnπxlϕ(x)=∑n=1∞cnsinnπxl
cn=2l∫l0ϕ(x)sinnπxldxcn=2l∫0lϕ(x)sinnπxldx
gτ(t)↔τsa(ωτ2)gτ(t)↔τsa(ωτ2)e−atε(t)↔1a+iωe−atε(t)↔1a+iω
e−a|t|↔2aa2+ω2e−a|t|↔2aa2+ω2
e−at2↔πa−−√e−ω24ae−at2↔πae−ω24a
δ(t)↔1δ(t)↔1
ε(t)↔πδ(ω)+1iωε(t)↔πδ(ω)+1iω
cos(ω0t)↔π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)]cos(ω0t)↔π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)]
sin(ω0t)↔iπ[δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)]sin(ω0t)↔iπ[δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)]
tn↔2π(i)nδ(n)(ω)tn↔2π(i)nδ(n)(ω)
1t↔−iπsgn(ω)1t↔−iπsgn(ω)
δt(t)↔ωδω(ω)δt(t)↔ωδω(ω)
∫t−∞f(τ)dτ↔πf(0)δ(ω)+f(ω)iω∫−∞tf(τ)dτ↔πf(0)δ(ω)+f(ω)iω
(−it)nf(t)↔f(n)(ω)(−it)nf(t)↔f(n)(ω)
πf(0)δ(t)+f(t)−it↔∫ω−∞f(ν)dνπf(0)δ(t)+f(t)−it↔∫−∞ωf(ν)dν
f(t)↔2πf(−ω)f(t)↔2πf(−ω)
f(at)↔1|a|f(ωa)f(at)↔1|a|f(ωa)
f(t±t0)↔e±iωt0f(ω)f(t±t0)↔e±iωt0f(ω)
f(t)e±iω0t↔f(ω∓ω0)f(t)e±iω0t↔f(ω∓ω0)
設f(t)=g(t)∗h(t)f(t)=g(t)∗h(t)，則f′(t)=g′(t)∗h(t)=g(t)∗h′(t)f′(t)=g′(t)∗h(t)=g(t)∗h′(t)
時域f(t)=g(t)∗h(t)f(t)=g(t)∗h(t)，頻域有f(ω)=g(ω)h(ω)f(ω)=g(ω)h(ω)
時域f(t)=g(t)h(t)f(t)=g(t)h(t)，頻域有f(ω)=12πg(ω)∗h(ω)f(ω)=12πg(ω)∗h(ω)
週期函式ft(t)ft(t)傅利葉變換
由指數形式的傅利葉級數，兩邊取傅利葉變換，所以週期函式的傅利葉變換時受到2πfn2πfn調製的梳狀脈衝(tt代表週期，ω=2πtω=2πt)
ft(t)↔2π∑n=−∞∞fnδ(ω−nω)ft(t)↔2π∑n=−∞∞fnδ(ω−nω)
因果訊號f(t)f(t)可以顯式地寫為f(t)ε(t)f(t)ε(t)，乙個因果訊號及其單邊拉普拉斯變換是一一對應的。每個非因果訊號都對應唯一乙個雙邊拉普拉斯變換，但是乙個雙邊拉普拉斯變換在不同收斂域條件下，可以對應不同的非因果訊號。
gτ(t−τ2)ε(t)gτ(t−τ2)ε(t)
∑n=0∞δ(t−nt)↔11−e−ts∑n=0∞δ(t−nt)↔11−e−ts
ε(t)↔1sε(t)↔1s
tε(t)↔1s2tε(t)↔1s2
e−atε(t)↔1s+ae−atε(t)↔1s+a
sin(βt)ε(t)↔βs2+β2sin(βt)ε(t)↔βs2+β2
cos(βt)ε(t)↔ss2+β2cos(βt)ε(t)↔ss2+β2
sinh(βt)ε(t)↔βs2−β2sinh(βt)ε(t)↔βs2−β2
cosh(βt)ε(t)↔ss2−β2cosh(βt)ε(t)↔ss2−β2
f(at)⟷b1|a|fb(sa)f(at)⟷b1|a|fb(sa)
f(t−t0)ε(t−t0)↔e−st0f(s)f(t−t0)ε(t−t0)↔e−st0f(s)
f(t−t0)⟷be−st0fb(s)f(t−t0)⟷be−st0fb(s)
es0tf(t)ε(t)↔f(s−s0)es0tf(t)ε(t)↔f(s−s0)
f′(t)↔sf(s)−f(0−)f′(t)↔sf(s)−f(0−)
f′′(t)↔s2f(s)−sf(0−)−f′(0−)f″(t)↔s2f(s)−sf(0−)−f′(0−)
f′(t)⟷bsfb(s)f′(t)⟷bsfb(s)
∫t0−f(τ)dτ↔1sf(s)∫0−tf(τ)dτ↔1sf(s)
∫t−∞f(τ)dτ↔1sf(s)+1s∫0−−∞f(τ)dτ∫−∞tf(τ)dτ↔1sf(s)+1s∫−∞0−f(τ)dτ
∫t0f(τ)dτ⟷b1sfb(s),α<σ∫t−∞f(τ)dτ⟷b1sfb(s),max(α,0)<σ<β∫−∞tf(τ)dτ⟷b1sfb(s),max(α,0)<σ<β
(−t)f(t)↔df(s)ds(−t)f(t)↔df(s)ds
f(t)t↔∫∞sf(ν)dνf(t)t↔∫s∞f(ν)dν
對於傅利葉變換和拉普拉斯的積分性質，成立的條件是積分確實收斂，否則不成立。對於拉普拉斯變換的ss域積分性質，積分變數νν當作實數來積分（這一點可從其證明中看出來）.
f1(t)∗f2(t)↔f1(s)f2(s)f1(t)∗f2(t)↔f1(s)f2(s)
可以將乙個有理分式拆成多項式+真分式的形式f(s)=p(s)+b(s)a(s)f(s)=p(s)+b(s)a(s)，其中多項式部分的拉普拉斯逆變換是δδ函式的各階導數，真分式部分可以作部分分式分解，再分別做逆變換。先求分母a(s)a(s)的根:
（1）若s0s0為乙個單實根，則在部分分式中加入ks−s0ks−s0這一項，其中
k=[(s−s0)b(s)a(s)]∣∣∣s=s0k=[(s−s0)b(s)a(s)]|s=s0
（2）若s0,s∗0s0,s0∗為乙個單重共軛復根，則在部分分式中加入k1s−s0+k2s−s∗0k1s−s0+k2s−s0∗，係數kk的計算方法同上，其中k1k1和k2k2必然是共軛關係
（3）若s0s0為乙個r重實根，則在部分分式中加入
k1(s−s0)r+k2(s−s0)r−1+⋯+krs−s0k1(s−s0)r+k2(s−s0)r−1+⋯+krs−s0
其中ki=∣∣∣s=s0ki=|s=s0
因果訊號的單邊拉普拉斯變換和傅利葉變換的關係
由於因果訊號的單邊拉普拉斯變換的收斂域在復平面上是一條豎線的右半開平面，收斂域σ>σ0σ>σ0。若有σ0<0σ0<0，即收斂域包含虛軸，則此時直接令拉普拉斯變換中的ss為iωiω即可得到傅利葉變換（即令ss的實部σ=0σ=0）。若有σ0>0σ0>0，則此時收斂域不包括虛軸，傅利葉變換不存在。若有σ0=0σ0=0，則此時將拉普拉斯變換作部分分式分解，必然有分式的極點位於虛軸上，此時可將其餘極點不在虛軸上的部分分式作代換s→iωs→iω，而將極點位於虛軸上的部分，做逆變換求得時域形式，再作傅利葉變換（通常這部分和ε(t)ε(t)有關）。
反因果訊號的雙邊拉普拉斯變換
現有反因果訊號f(t)ε(−t)f(t)ε(−t)，則f(−t)ε(t)f(−t)ε(t)為乙個因果訊號。求f(−t)ε(t)f(−t)ε(t)的單邊拉普拉斯變換f(s)f(s)且設收斂域σ>σ2σ>σ2.則有f(t)ε(−t)⟷bf(−s)f(t)ε(−t)⟷bf(−s)，收斂域σ<−σ2σ<−σ2
反因果訊號的雙邊拉普拉斯逆變換
反因果訊號及其雙邊拉普拉斯變換是一一對應的。現有fb(s)fb(s)為某反因果訊號的雙邊拉普拉斯變換，則先求出fb(−s)fb(−s)的單邊拉普拉斯逆變換f(t)f(t). 有f(−t)ε(−t)⟷bfb(s)f(−t)ε(−t)⟷bfb(s)
一般非因果訊號的雙邊拉普拉斯正/逆變換
正變換：將f(t)f(t)分成因果訊號與反因果訊號的和，分別作雙邊變換，需要注意的是，收斂域為因果訊號與反因果訊號各自的收斂域的交集.
逆變換：將fb(s)fb(s)進行部分分式分解，根據給定的收斂域區分哪些分式是因果的，哪些是反因果的，分別對它們進行雙邊拉普拉斯逆變換.
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