大家有沒有好奇過，在電路分析的時候，為什麼電容的頻域等效模型是1/sc,電感的模型是sl。想要了解這個，就要把頻域的不同變化，和背後的原理想清楚。
三角級數：
也是傅利葉級數。是頻域分析的基礎
為什麼叫做三角級數：
三角：因為假設了所有訊號，都可以使用這乙個完備正交基來解釋。因為他是三角函式的形式
級數：就是基波和他的高次諧波，基於ω和n*ω，而且是分立的。這個就是級數
為什麼又有了傅利葉級數？
因為三角級數，還是有點麻煩。觀察cosω, sinω其實可以使用e^iw來表示，這個就是尤拉公式，同時也把三角級數引入了複數空間。
所以我們常用的是複數空間的級數，而不是三角級數。同時傅利葉級數比三角級數有更簡單和統一的表示式。
那麼，三角級數和傅利葉級數到底有什麼用？
可以得到乙個週期訊號的頻域特性，他的特性就是有基波ω和n*ω。ω=2pi/t
級數的公式：f(t)=∑cn*e^inωt
係數的公式：cn=1/t∫f(t)e^−inωtdt
所以，要得到任何乙個ω1=n*ω，都要把整個週期的f(t)和e^-iw1t相乘後積分。這個運算量是很大的。
傅利葉變換：
和傅利葉級數有什麼不同？
因為實際上，很多訊號都是非週期。傅利葉變換，就是假設t為無窮，得到的變換公式
公式：
傅利葉變換有什麼用？
根據以上公式，如果你能把乙個訊號的表示式求出來，那麼就可以對他進行傅利葉變換，求得他的頻域
這個也就是為什麼，我們的課本上有那麼多不同函式的傅利葉變換結果的原因。如衝擊函式，階躍函式。
但是實際上的訊號，我們都是用數字取樣的方式，那就要使用離散傅利葉變換了
離散傅利葉變換：（這部分不太專業）
為什麼又有離散傅利葉變換？
因為實際的訊號，我們都是用數字取樣的方式，採集了有限的點數之後，再進行離散傅利葉變換。這樣的取樣，會對頻域的結果，產生不一樣的特性。
取樣速度
奈奎斯特取樣定律，重建出來的頻域訊號，只有取樣速度的/2。後面的訊號都是重複的奈奎斯特視窗。所以高頻的訊號會導致混疊，要加濾波器去掉高頻訊號。
取樣點數
和解析度有關
laplace變換
為什麼又來了laplace變換？
因為傅利葉變換要滿足可以積分收斂的條件，很多訊號不滿足。所以laplace變換用了新的運算元，s=σ+jω。加入了衰減子σ，也就是e^-st=e^-(σ+jω)t=e^-σt*e^-jwt。可以保證所有訊號都是絕對可積的。
新的運算元s又帶來了什麼？
把傅利葉變換從復頻域的虛軸，擴充套件到了整個復頻域上。
同時保持了傅利葉變換的所有特性，都是可以被繼承的。所以不用嚴格區分傅利葉變換和拉布拉斯變換。
其實，laplace是先於傅利葉變換的，laplace最開始是一種運算元，可以簡化常微分方程的計算。把常微分方程的微分變成s項，積分變成1/s項。可以把高階的常微分方程當做一元多次方程計算。但是給不出數學的證明，但是傅利葉變換給出了嚴格的數學證明，最終發現laplace的運算元理論和傅利葉變換的特性是完全一致的。（以上是我的理解，不一定正確）
laplace有什麼用？
上面提到了，傅利葉變化是不能直接用在電路上的，但是laplace可以。
同時根據運算元理論：（其實也是傅利葉變換的特性，可以嚴格的數學證明）
電容：物理方程：i=c*∂v/∂t運算元方程：電壓v對時間的微分為sv，i=c*sv，所以v/i=1/sc.所以電容c拉普拉斯變換後為1/sc
電感： 物理方程：v=∂ψ/∂t=l*∂i/∂t運算元方程：電壓v對時間的積分為v/s，v/s=li，所以v/i=sl.所以電感l拉普拉斯變換後為sl
這個就是我們背的公式的推導。
所以時域非常複雜的電路常微分方程，到了頻域上就很簡單。算完了再反變換回來就行。
為什麼用laplace得到的是頻域訊號？
其實，laplace就是數學的工具，可以當成是一種的數學座標變換：這個座標下很難解的問題，換個做標軸就很好結構。剛好新的座標軸就是頻域。
而且我們引入的是e^-jwt，然後對t積分，得到的函式結果是w的單一變數函式，這個w就是頻域，同時有復變數j，可以同時表達頻域的幅頻和相位了。
借用傅利葉變換的公式：
我們把中間這部分就叫做傅利葉變換，外面的部分叫做反變換。反正我數學上可以證明乙個訊號經過傅利葉變換之後，再經過反變換等於本身，那麼我們就可以為所欲了。因為數學的證明是嚴格的，只要能用數學證明，那麼這麼做準沒有錯。
最全傅利葉變換和拉普拉斯變換公式總結
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2018 10 27 準備計控期中考試，看課件過程中又出現z變換，然後又搜出一堆部落格，陷入不懂的迴圈。不過，對卷積和傅利葉變換知道了一點，比之前清晰了一些。卷積及拉普拉斯變換的通俗解釋 影象處理 卷積 作者太棒了 卷積 拉普拉斯 意義 幽默講卷積 卷積 convolution 的定義 傅利葉變換 ...