空間的直和分解只保證向量分解的唯一性，不保證分解後的向量互相垂直，垂直能簡化問題，因為內積為0，所以必須研究子空間正交分解。
平面內每條直線是子空間，兩直線垂直時，是平面的正交分解。三維空間中，平面和直線垂直時是正交分解。幾何上是如何定義直線垂直平面的？直線垂直於平面內任意直線，據此定義子空間垂直。
定義子空間正交 兩個子空間內各取任一向量，它們互相垂直，記為 s1⊥
s2
s_1 \bot s_2
s1⊥s2
。例如四維空間， 兩個子空間分別為 s1=
((1,
0,0,
0),(
1,1,
0,0)
)s_1 = ((1,0,0,0),(1,1,0,0))
s1=((
1,0,
0,0)
,(1,
1,0,
0)) ， s2=
((0,
0,1,
1),(
0,0,
2,1)
)s_2 = ((0,0,1,1),(0,0,2,1))
s2=((
0,0,
1,1)
,(0,
0,2,
1)) 。s
1s_1
s1 空間內任意向量 v1=
(α1+
α2,α
2,0,
0)
\mathbf = (\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2,0,0)
v1=(α
1+α
2,α
2,0
,0) ， s
2s_2
s2 空間內任意向量 v2=
(0,0
,β1+
2β2,
β1+β
2)
\mathbf = (0,0,\beta_1+2\beta_2,\beta_1+\beta_2)
v2=(0
,0,β
1+2
β2,
β1+
β2)
，兩個向量內積為0，故這兩個子空間正交。
重要性質子空間正交是直和，只在原點相交。
證：令向量 v
\mathbf
v 同時屬於兩個子空間， 因為兩空間正交，所以向量 v
\mathbf
v 內積為0， 則向量 v
\mathbf
v 為 0
\mathbf
0 向量。
給定兩個子空間，如何判斷它們正交？幾何上，直線垂直於平面的判斷定理是，直線垂直於平面內兩個不共線的直線。平面內兩個不共線的直線，就是平面的生成向量組，也是基！
重要性質兩個子空間的生成向量組中任意兩個向量互相垂直時，子空間正交，反之亦然。
證：假設兩個子空間的生成向量組分別為 v1=
(v1,
⋯,vn
)v_1 = (\mathbf,\cdots,\mathbf)
v1=(v
1,⋯
,vn
) 和 v2=
(u1,
⋯,um
)v_2 = (\mathbf},\cdots,\mathbf)
v2=(u
1,⋯
,um
) ，m,n
m,nm,
n 為任意自然數。子空間 v
1v_1
v1 的任意向量為其線性組合，v=α
1v1+
⋯+αn
vn
\mathbf = \alpha_1\mathbf+\cdots+\alpha_n\mathbf
v=α1v
1+⋯
+αn
vn ，子空間 v
2v_2
v2 的任意向量為其線性組合，u=β
1u1+
⋯+βm
um
\mathbf = \beta_1\mathbf+\cdots+\beta_m\mathbf
u=β1u
1+⋯
+βm
um ，內積為
( v,
u)=(
α1v1
+⋯+α
nvn,
β1u1
+⋯+β
mum)
=∑ij
(αiβ
j(vi
,uj)
)(\mathbf,\mathbf) = (\alpha_1\mathbf+\cdots+\alpha_n\mathbf, \beta_1\mathbf+\cdots+\beta_m\mathbf) \\ = \sum_(\alpha_i\beta_j(\mathbf,\mathbf))
(v,u)=
(α1
v1+
⋯+αn
vn
,β1
u1+
⋯+βm
um
)=ij
∑(α
iβj
(vi
,uj
))當任意 (vi
,uj)
＝0
(\mathbf,\mathbf)＝0
(vi,u
j)＝
0 時，上式為0，說明任意向量垂直，子空間正交。
重要性質兩個子空間正交時，它們的基向量互相垂直，反之亦然。
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