本節主要接受歐氏空間中標準正交基的確定，這一塊是考研中比較容易得分的乙個版塊，但是大家要注意的是乙個失分點，大家容易忽略如何去確定標準正交基，所以大家一定要注意基礎定義的熟練掌握，切勿眼高手低，多去記憶基礎定義，考試遇到題目的時候，能夠快速得分.定義1.歐式空間v中一組非零的向量，如果它們兩兩正交，就稱為一正交向量組.
巖寶小提示：正交向量組是線性無關的. 事實上，設正交向量組
有一線性關係
用 與等式兩邊作內積，即得
由 有從而
以上結果也說明了在n維歐氏空間中，兩兩正交的非零向量不能超過n個，這個事實的幾何意義是清楚的.例如在平面上找不到三個兩兩垂直的的非零向量；在空間中，找不到四個兩兩垂直的非零向量.
定義2.在n維歐氏空間中，由n個向量組成的正交向量組稱為正交基；由單位向量組成的正交基稱為標準正交基.
定義3. n級實數矩陣a稱為正交矩陣，如果aa'=e.
定理1. n維歐氏空間中任乙個正交向量組都能擴充成一組正交基.
證明：設
是一正交向量組，我們對n-m作數學歸納法.
當 n-m=0 時 ,
就是一組正交基了.
假設 n-m=k 時,也就是說，可以找到向量
使得成為一組正交基.
現在看 n-m=k+1 的情形. 因為
,所以一定有向量
不能被
線性表出，作向量
這裡是待定的係數. 用
和 作內積，得取有
由 的選擇可知 ,
因此是一正交向量組，根據歸納法假定,
可以擴充成一正交基.
定理2. 對於n維歐氏空間中任意一組基
可以找到一組標準正交基
使證明：設
是一組基，我們來逐個地求出向量
首先，可取
一般地，假定已經求出
它們是單位正交的，具有性質
下一步求
. 因為
所以 不能被
線性表出.
按照定理1證明的方法，作向量
顯然有令
就是一單位正交向量組. 同時
由歸納原理，定理2得證.
巖寶小提示：定理2中要求
就相當於由基
到基的過渡矩陣是上三角形的.
例1.把變成單位正交的向量組.
證明：先把它們正交化，得
再單位化，得
例2.在2級實矩陣構成的線性空間證明：（1）中定義其中a,b是任意2級實矩陣.
（1）證明如上定義
是線性空間
上的內積.
（2）設w是由矩陣
生成的子空間，求
的一組標準正交基.
（3）舉例說明定義
不構成內積.
（i）（ii）
（iii）任取
即有（iv）
當且僅當 a=o 時
即 是線性空間
上的內積.
（2） 對任意的
我們設則即於是
即所以
現在記易知
現在對於
進行施密特正交化，變為標準正交基：
首先,所以
是乙個單位向量.接下來由施密特正交化有
而對 進行單位化可得
(3) 例如取
這時 但是
這與內積的正定性矛盾.
1.在
中定義內積為
求 的一組標準正交基（由基
出發做正交化）.
2.在歐氏空間
中，定義內積為
設w是所有n級實對稱矩陣組成的線性子空間，求
和 的一組標準正交基.
3.設a為n階實對稱正定矩陣,
為 維歐氏空間
( 標準度量 )中的n+1個向量，若已知
(1)(2)
(3)證明：
.4.設a是乙個實係數方陣，判斷若a的行向量組兩兩正交，則它的列向量組也兩兩相交，是否正確，若正確請給出證明.不正確請給出反例.
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