叉乘(向量的外積)是物理裡面常常用到的概念, 它是由兩個向量得到乙個新的向量的運算。一般我們都是從幾何意義下手: 向量\(\vec a\)和\(\vec b\)叉乘, 得到乙個垂直於\(\vec a\)和\(\vec b\)的向量\(\vec a \times \vec b\), 它的方向由右手螺旋法則確定, 它的長度是\(\vec a\)和\(\vec b\)張開的平行四邊形的面積:
\[| \vec a \times \vec b | = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin \theta\]
其中\(\theta\)是\(\vec a\)和\(\vec b\)的夾角.
叉乘滿足的基本的性質如下:
\(\vec a \times \vec a = \vec0\), 因為夾角是0, 所以平行四邊形面積也是0, 即叉積長度為0
\(\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)\), 等式兩邊的叉積等大反向, 模長因為平行四邊形不變而相同, 方向因為右手法則旋轉方向相反而相反
\((\lambda \vec a)\times b = \lambda (\vec a \times \vec b)\), 這點比較好想, 因為: ①正數\(\lambda\)數量乘不會影響\(\vec a\)的方向, 所以左右的叉積方向一樣; 負數\(\lambda\)使得\(\vec a\)反向了, 但也使得左右叉積方向相反. ②對\(\vec a\)進行縮放, 平行四邊形面積也同等縮放.
\((\vec a+\vec b) \times \vec c = \vec a \times \vec c + \vec b \times \vec c\), 這種分配率是以前最難想象的了.
上述3. 4.兩點結合起來, 說明叉乘具有一種線性性質, 再結合2.就是雙線性了(同時對左右具有線性性質). 一直以來我都想找到性質4. 的一種幾何證明, 可它就像乙個過不去的坎, 擋住了我追求完美的心.
每次想到性質4., 都會去想象空間中一點出發的三個隨機向量, 然後又叉乘出兩個新向量, 一共5個向量, 甚至畫圖都很難. 這個問題一直持續了很久, 後來某天突然想到, 可以固定乙個向量, 剩餘的工作在二維投影面完成啊~
這裡證明4.的等價結論: \(\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c\). 如下圖所示, 把向量\(\vec b\)和\(\vec c\)按照向量\(\vec a\)的負方向, 投影到與\(\vec a\)垂直的平面s.
這裡先要說明, 向量\(\vec a\)和\(\vec b\)的叉乘, 等於和\(\vec b\)的投影\(\vec b \,'\)的叉乘:
\[ \vec a \times \vec b = \vec a \times \vec b \, ' \]
這個結論很好想象, 這種投影其實是把\(\vec b\)掰成與\(\vec a\)垂直的等價部分: 叉乘方向不會變, 並且平行四邊形面積不變(底乘高,高沒變).
那麼這就好說了, 直接在投影面分析:
\(\vec a \times \vec b\)就是\(\vec b \,'\)逆時針旋轉90度, 並且伸縮\(|\vec a|\)(藍色的向量)
\(\vec a \times \vec c\)就是\(\vec c\,'\)逆時針旋轉90度, 並且伸縮\(|\vec a|\)(綠色的向量)
\(\vec a \times (\vec b +\vec c)\)就是\(\vec b\,'+\vec c\,'\)逆時針旋轉90度, 並且伸縮\(|\vec a|\)(紅色的向量)
換句話說, 兩個平行四邊形是相似的. 在左邊那個平行四邊形裡, 我們得到了結論
\[ \vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec b. \]
所有性質得到幾何理解以後, 就感覺整個理論都通暢很多呢...
比如就可以分析, 解析幾何下怎麼計算叉乘:
\[ \mathbf \times \mathbf ={}&(u_\mathbf +u_\mathbf +u_\mathbf )\times (v_\mathbf +v_\mathbf +v_\mathbf )\\={}&u_v_(\mathbf \times \mathbf )+u_v_(\mathbf \times \mathbf )+u_v_(\mathbf \times \mathbf )+{}\\&u_v_(\mathbf \times \mathbf )+u_v_(\mathbf \times \mathbf )+u_v_(\mathbf \times \mathbf )+{}\\&u_v_(\mathbf \times \mathbf )+u_v_(\mathbf \times \mathbf )+u_v_(\mathbf \times \mathbf )\\\end} \]
就是說, 利用前面的分配率, 我們就能夠將座標形式的叉乘歸結為基底的叉乘! 對於基底, 我們按照最開始的叉乘定義可以求出他們的值(右手座標系下):
\[ \mathbf \times \mathbf =\mathbf \times \mathbf =\mathbf \times \mathbf =\mathbf \]
\[ \left\\mathbf \times \mathbf &=\mathbf \\\mathbf \times \mathbf &=\mathbf \\\mathbf \times \mathbf &=\mathbf \end}} \right. \quad\quad \left\\mathbf &=-\mathbf \\\mathbf &=-\mathbf \\\mathbf &=-\mathbf \end}} \right. \]
最後就是熟悉的形式:
\[ \mathbf &=(u_v_-u_v_)\mathbf +(u_v_-u_v_)\mathbf +(u_v_-u_v_)\mathbf \\ &=u_&u_\\v_&v_\end}\mathbf -u_&u_\\v_&v_\end}\mathbf +u_&u_\\v_&v_\end}\mathbf \\ &=\mathbf &\mathbf &\mathbf \\u_&u_&u_\\v_&v_&v_\\\end} \end}} \]
這裡再放一張維基百科的圖:
維基百科裡還有更多性質的介紹和證明:
向量叉乘的線性性質 幾何解釋
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